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  \@xp\@auxsection\@xp*\@xp{Bibliographie succincte sur les corps convexes}%
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\def\CDRdoi{10.5802/xups.1995-00}

\begin{document}
\frontmatter
\title{Aspects géométriques et combinatoires de la convexité. Préface des éditeurs}

\author[\initial{N.} \lastname{Berline}]{\firstname{Nicole} \lastname{Berline}}
\address{URA 169 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\author[\initial{C.} \lastname{Sabbah}]{\firstname{Claude} \lastname{Sabbah}}
\address{URA 169 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}


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\chapterspace{-5}
\chapter*{Préface}

La géométrie des corps convexes, initiée par Brunn et Minkowski à la fin du siècle dernier, forme un beau chapitre de la géométrie euclidienne. Le {\em volume mixte} de plusieurs convexes est un concept central de la théorie, donnant lieu à une série d'inégalités de convexité.

Parmi les convexes, les polytopes (polyèdres de $\RR^n$) sont une source de problèmes de nature combinatoire, par exemple

\begin{enumerate}
\item
étant donnée une famille d'entiers $f_0,\ldots ,f_d$, sous quelles conditions existe-t-il un polytope convexe de dimension $d$ dont le nombre de facettes de dimension $k$ soit $f_k$ pour tout $k$ (voir le texte de B.\,Teissier)? Une condition nécessaire, remontant à Euler et Poincaré, est que la somme alternée des $f_k$ soit égale à $1-(-1)^d$;

\item
lorsque le polytope $P$ est à sommets dans $\ZZ^n$, calculer le nombre de points de $\ZZ^n$ contenus dans $P$; au début des années~60, E.\,Ehrhart, professeur dans un lycée à Strasbourg, a découvert des propriétés remarquables du nombre de points entiers dans les homothétiques $kP$, considéré comme fonction (polynomiale) de $k$ (voir le texte de M.\,Brion).
\end{enumerate}

Un des outils essentiels dans ce type de problèmes est un dictionnaire remarquable entre propriétés des polytopes convexes et propriétés de certaines variétés algébriques (ensembles définis par des équations polynomiales à plusieurs variables complexes), dites {\em variétés toriques}, permettant d'utiliser des méthodes et des résultats (d'analyse par exemple) {\em a priori} très éloignés des problèmes initiaux (voir le texte de B.\,Teissier).

En retour, des propriétés d'algèbre se sont trouvées reliées à la convexité, par exemple

\begin{enumerate}
\item
le nombre de zéros communs (à coordonnées complexes non nulles) de $k$ polynômes à $k$ variables peut s'exprimer en terme du volume mixte des polytopes de Newton associés aux polynômes, au moins lorsque les coefficients des polynômes sont \og assez généraux\fg (ceci généralise le fait bien connu qu'un polynôme de degré exactement $d$ et dont le terme constant n'est pas nul, a exactement $d$ racines non nulles);

\item
la méthode des variétés toriques permet de construire des configurations d'ovales (courbes planes définies par une équation polynomiale réelle $f(x,y)=0$, sans singularité), difficiles à deviner directement (16ème problème de Hilbert) (voir le texte de J-J.\,Risler);

\item
on généralise des inégalités classiques (dues à Schur dans les années 20) qui contraignent les termes diagonaux des matrices hermitiennes de valeurs propres données à rester dans une partie convexe de l'espace (voir le texte de M.\,Audin).
\end{enumerate}

\vspace*{.5cm}
\hfill {\sl Nicole Berline et Claude Sabbah}\hspace*{2cm}\mbox{}

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups95-00}

\vfill
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[scale=.8]{OCTATR01}}
\vspace{.5truecm}\smaller
Figure dessinée à l'aide de Mathematica par J. Béthery

professeur au lycée Albert Schweizer, Le Raincy
\end{center}
\end{document}

