\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais,ThmDefs]{cedram}
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\begin{document}
\frontmatter

\title{Jeux répétés}
\author[\initial{T.} \lastname{Tomala}]{\firstname{Tristan} \lastname{Tomala}}
\address{Ceremade,
Université Paris Dauphine,
Place du Maréchal de Lattre de Tassigny,
75775 Paris cedex 16}

\email{tomala@hec.fr}
\urladdr{https://sites.google.com/site/tristantomala2}

\thanks{Journées X-UPS 2006. Théorie des jeux -- Introduction à la théorie des jeux répétés. Éditions de l'École polytechnique, 2006}

\maketitle

{\let \\ \relax \tableofcontents}
\mainmatter

\section{Modèle général}

Dans un jeu répété, les joueurs interagissent à chaque date \hbox{$t\!\in\!\naturals^*$}. Chaque étape génère un paiement et le paiement global d'un joueur est fonction de la suite de ses paiements d'étapes. Nous allons tout d'abord décrire précisément ce modèle, préciser les notions de stratégies ainsi que les notions de solutions (valeur, équilibres). On rappelle que pour une famille d'ensembles $(E^i)_{i\in N}$, on note $E=\prod_{i\in N}E^i$.

\subsection{Description du jeu}

Un \emph{jeu répété} $\Gamma$ est décrit par les données suivantes:

\begin{itemize}
\item
Un ensemble de joueurs $N$;
\item
Un ensemble d'états $K$;
\item
Pour chaque joueur $i\in N$, un ensemble d'actions $A^i$ et un ensemble de signaux $U^i$;
\item
Une probabilité initiale $p$ sur $K\times U$;
\item
Une probabilité de transition $Q:K\times A\to K\times U$;
\item
Pour chaque joueur $i\in N$, et chaque état $k\in K$, une fonction de paiement $g^{i,k}:A\to \reals$.
\end{itemize} Tous les ensembles ci-dessus sont finis et non vides.
Le déroulement du jeu est le suivant:\enlargethispage{\baselineskip}

\begin{itemize}
\item
Avant le début du jeu, la nature tire un état initial et des signaux $(k_1, (u^i_0)_{i\in N})\in K\times U$ selon la probabilité $p$. Chaque joueur~$i$ observe le signal $u^i_0$.
\item
A chaque date $t\ge 1$, chaque joueur $i\in N$ choisit une action $a^i_t\in A^i$. Si l'état est $k_{t}\in K$, la nature tire un état et des signaux $(k_{t+1}, (u^i_{t})_{i\in N})\in K\times U$ selon $Q(\cdot\vert k_{t},a_t)$. Le joueur~$i$ observe alors $u^i_{t}$ et on passe dans l'état $k_{t+1}$.
\end{itemize} La suite des paiements du joueur~$i$ est alors: $(g^{i,k_t}(a_t))_{t\ge 1}$.

\skpt
\begin{definition}
\begin{itemize}
\item
On appelle \emph{jeu répété $T$ fois}, et on note $\Gamma_T$, le jeu répété dont le déroulement est décrit ci-dessus et qui s'arrête à la date $T$. Le paiement final du joueur~$i$ est: $\frac1T\sum_{t=1}^T g^{i,k_t}(a_t)$.
\item
On appelle \emph{jeu escompté au taux $\lambda\in {}]0,1]$}, et on note $\Gamma_\lambda$, le jeu répété une infinité de fois dont le déroulement est décrit ci-dessus. Le~paiement final du joueur~$i$ est: $\sum_{t\ge1}\lambda(1-\lambda)^{t-1} g^{i,k_t}(a_t)$.
\item
On appelle \emph{jeu infiniment répété}, et on note $\Gamma_\infty$, le jeu répété une infinité de fois dans lequel le paiement final du joueur~$i$ est: $\lim_T\frac1T\sum_{t=1}^T g^{i,k_t}(a_t)$ si cette limite existe.
\end{itemize}
\end{definition}

Ce modèle rend compte de plusieurs aspects. Le jeu joué en date~$t$ est paramétré par l'état $k$ et l'état évolue en fonctions des actions choisies (selon la probabilité de transition). Les joueurs feront donc face à un dilemme: jouer pour maximiser le paiement courant, ou pour induire des états favorables. Les signaux permettent de \hbox{modéliser} les imperfections et les asymétries d'information qu'ont les joueurs sur l'état et les actions passées de leurs adversaires. On distingue trois grandes classes de jeux répétés:
\begin{enumerate}
\item
\emph{Les jeux répétés à information complète} appelés aussi super-jeux dans lesquels l'ensemble des états $K$ est un singleton. Dans ce cas, le jeu répété est la répétition du jeu $G=(N,(A^i)_{i\in N}, (g^i)_{i\in N})$. On dit que le jeu répété est \emph{à observation parfaite} si le signal de chaque joueur révèle le profil d'actions: si $a$ est le profil d'action joué, $a$ est annoncé à chaque chaque joueur. C'est ce cas que nous étudierons dans la suite de ce texte.
\item
\emph{Les jeux répétés à information incomplète}. Dans ce modèle les transitions sont telles que l'état reste constant égal à l'état initial. Cela revient à dire qu'on a une famille paramétrée de jeux $(G^k)_{k\in K}$, le paramètre du jeu $k$ est tiré selon une probabilité initiale et le jeu~$G^k$ est répété. Les joueurs ont des information partielles et asymétriques sur sa valeur, données par les signaux initiaux $u_0$. Ce cas sera étudié dans le texte de Jérôme Renault (ce volume). On supposera toujours, comme dans le cas précédent, que les actions sont parfaitement obser\-vées.
\item
\emph{Les jeux stochastiques}. On suppose dans ce cas que les signaux révèlent parfaitement les actions et les états. Le jeu est alors donné par une famille paramétrée de jeux $(G^k)_{k\in K}$, un état initial $k_1\in K$ et une probabilité de transition qui détermine l'état suivant en fonction de l'état courant et des actions jouées.
\end{enumerate}

\subsection{Stratégies} On appelle \emph{histoire du jeu en date $t$}, la suite des états, profils d'actions et profils de signaux survenus avant la date $t$, c'est-à-dire une suite de la forme
\[
h_t=(u_0,k_1,a_1,u_1,k_2\ldots,a_{t-1},u_{t-1},k_t).
\]
L'ensemble des histoires du jeu en date $t$ est
\[
H_t=U\times K\times (A\times U\times K)^{t-1}
\]
(par convention, nous supposerons qu'un ensemble à la puissance 0 est un singleton). On appelle \emph{partie du jeu} une suite dans
\[
H_\infty=U\times K\times (A\times U\times K)^{\naturals^*}.
\]

On appelle \emph{histoire du joueur} $i$ en date $t$ une suite finie de la forme $h^i_t=(u^i_0,a^i_1,u^i_1,\ldots,a^i_{t-1},u^i_{t-1})$. L'ensemble de telles histoires est $H^i_t=U^{i}\times (A^{i}\times U^{i})^{t-1}$.

Dans la suite nous allons travailler avec des ensembles produits. Donnons quelques définitions générales. Soit $(E_n, d_n)_n$ une famille dénombrable d'espaces métriques compacts. La \emph{topologie produit} sur $E=\prod_nE_n$ est celle engendrée par les projections $E\to E_n$, $e=(e_m)_m\mto e_n$ (topologie de la convergence simple). Pour cette topo\-lo\-gie, $E$ est compact (théorème de Tychonoff) et métrisable (par exemple avec la distance $\sum_n 2^{-n}\max\left\{d_n,1\right\}$). La \emph{tribu produit} sur $E$ est la tribu engendrée (également) par les projections. Elle coïncide avec la tribu borélienne associée à la topologie produit. Dans la suite, les produits de métriques compacts seront munis de cette topologie et de cette tribu.

Définissons les notions suivantes de stratégies.

\skpt
\begin{definition}
\begin{itemize}
\item
Une \emph{stratégie pure} du joueur~$i$ est une famille d'applications $s^i=(s^i_t)_{t\ge 1}$, avec $s^i_t:H^i_t\to A^i$. On note $S^i$ l'ensemble de ces stratégies.
\item
Une \emph{stratégie mixte} du joueur~$i$ est une distribution de probabilité borélienne sur $S^i$.
\item
Une \emph{stratégie de comportement} du joueur~$i$ est une famille d'appli\-cations $\sigma^i=(\sigma^i_t)_{t\ge 1}$, avec $\sigma^i_t:H^i_t\to \Delta(A^i)$. On note $\Sigma^i$ l'ensemble de ces stratégies.
\item
Une \emph{stratégie générale} du joueur~$i$ est une distribution de probabilité borélienne sur $\Sigma^i$.
\end{itemize}
\end{definition}

Les ensembles de stratégies pures et de stratégies de comportement sont des produits dénombrables de métriques compacts. Les ensembles de stratégies mixtes et de stratégies générales sont donc également des métriques compacts (on prendra toujours la topologie faible-* sur l'ensemble des probabilités boréliennes sur un métrique compact). Grâce à l'injection naturelle de $E$ dans $\Delta(E)$, on peut considérer que $S^i$ est un sous-ensemble de $\Delta(S^i)$ et de $\Sigma^i$, et que $\Delta(S^i)$ et $\Sigma^i$ sont des sous-ensembles de $\Delta(\Sigma^i)$. Les stratégies générales contiennent donc toutes les autres notions.

\skpt
\begin{lemma} Un profil de stratégies générales $\alpha=(\alpha_i)_{i\in N}\in \prod_{i\in N}\Delta(\Sigma^i)$ induit une unique mesure de probabilité $\prob_{\alpha}$ sur $H_\infty$ (muni de la tribu produit).
\end{lemma}

\begin{proof} Commençons par montrer que tout profil de stratégies de comportement
\[
\sigma=(\sigma^i)_{i\in N}\in \prod_{i\in N}\Sigma^i
\]
induit une unique mesure de probabilité $\prob_{\sigma}$ sur $H_\infty$. Pour chaque histoire $h_t=(u_0,k_1,a_1,u_1,k_2\ldots,a_{t-1},u_{t-1},k_t)$, on pose:
\begin{multline*}\textstyle
\prob_\sigma(h_t)=p(u_0,k_1)\big(\prod_i\sigma^i(h^i_1)[a^i_1]\big)Q(u_1,k_2 \vert k_1, a_1)\cdots\\ \textstyle
{}\cdot \big(\prod_i\sigma^i(h^i_{t-1})[a^i_{t-1}]\big)Q(u_{t-1},k_t \vert k_{t-1},a_{t-1}).
\end{multline*}
Ceci définit la probabilité $\prob_\sigma$ sur les cylindres $C(h_t)$ (l'ensemble des parties du jeu qui commencent par $h_t$), et celle-ci s'étend de manière unique sur $H_\infty$, la tribu produit étant engendrée par les cylindres (par un théorème d'extension de Kolmogorov).

Soit maintenant un profil de stratégies générales $\alpha=(\alpha_i)_ {i\in N}\in \prod_{i\in N}\Delta(\Sigma^i)$. On pose, pour tout ensemble mesurable $B$ de $H_\infty$, $\prob_\alpha(B)=\int \prob_\sigma(B) \Pi_i d\alpha^i(\sigma^i)$.
\end{proof}

Le résultat suivant, dû à Kuhn (1953) pour le cas fini et généralisé par Aumann (1964), dit que pour analyser les jeux répétés, il suffit de considérer les stratégies de comportement.

\skpt
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item
Toute stratégie de comportement du joueur~$i$ est équivalente à une stratégie mixte du joueur~$i$ dans le sens suivant: pour toute stratégie de comportement $\sigma^i$, il existe une stratégie mixte $\mu^i$, telle que pour toute stratégie générale $\alpha^{-i}$ des autres joueurs, on ait $\prob_{\sigma^i,\alpha^{-i}}=\prob_{\mu^i,\alpha^{-i}}$.
\item
Toute stratégie mixte du joueur~$i$ est équivalente à une stratégie de comportement du joueur~$i$.
\item
Les stratégies mixtes, de comportement, et générales, du~jou\-eur~$i$ sont équivalentes.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Lors de constructions explicites de stratégies, il est souvent plus facile de définir une stratégie de comportement qu'une stratégie mixte. Dans le premier cas, on doit spécifier les lois de probabilités utilisées par le joueur pour choisir ses actions au moment de jouer, alors que dans le second cas, il faut définir une mesure de probabilité sur $S^i$, produit dénombrable d'ensembles finis. On verra également que dans certains cas, on est amené à choisir une stratégie de comportement au hasard, c'est-à-dire à construire une stratégie générale. Le théorème de Kuhn, nous donne donc la souplesse de passer d'une représentation à l'autre suivant les besoins.

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Soit $\sigma^i$ une stratégie de comportement du joueur~$i$. Pour toute stratégie pure $s^i$, posons $s^i(t)$ l'ensemble des stratégies pures du joueur~$i$ qui coïncident avec $s^i$ jusqu'a la date $t$. Pour définir~$\mu^i$, il suffit de définir $\mu^i(s^i(t))$, ($\forall s^i$, $\forall t$), la tribu produit sur $S^i$ étant engendrée par les cylindres $s^i(t)$. On le définit alors comme la probabilité que le joueur~$i$, tirant ses actions avec $\sigma^i$, joue ce qu'aurait joué $s^i$ jusqu'a la date $t$:
$$\mu^i(s^i(t))=\prod_{h^i_t\in H^i_t} \prod_{r<t}\sigma^i_r(h^i_r)[s^i_r(h^i_r)]$$
On a alors clairement, $\prob_{\sigma^i,\alpha^{-i}}=\prob_{\mu^i,\alpha^{-i}}$.

\item
Réciproquement, soit $\mu^i$ une stratégie mixte du joueur~$i$. Pour toute histoire $h^i_t$ du joueur~$i$, posons $S^i(h^i_t)$ l'ensemble des stratégies pures du joueur~$i$ compatibles avec $h^i_t$: si
\[
h^i_t=(u^i_0,a^i_1,u^i_1,\ldots, a^i_{t-1}, u^i_{t-1}),
\]
$S^i(h^i_t)$ est l'ensemble des stratégies pures telles que pour tout $r<t-1$, $s^i_r(u^i_0,a^i_1,u^i_1,\ldots, a^i_{r-1}, u^i_{r-1})=a^i_r$. On définit la probabilité de jouer~$a^i$ après $h^i_t$, comme la probabilité de l'ensemble des stratégies pures qui jouent $a^i$ après $h^i_t$, conditionnellement au fait que la stratégie soit compatible avec $h^i_t$. Précisément, on pose
\[
\sigma^i_t(h^i_t)[a^i]=\mu^i(\left\{s^i\mid  s^i_t(h^i_t)=a^i\right\})/\mu^i(S^i(h^i_t)),
\]
si $\mu^i(S^i(h^i_t))>0 $, et on définit cette quantité arbitrairement si $\mu^i(S^i(h^i_t))=0$. Encore une fois, $\prob_{\sigma^i,\alpha^{-i}}=\prob_{\mu^i,\alpha^{-i}}$.

\item
Une stratégie générale $\alpha^i$ peut donc se voir comme une distribution de probabilité sur les stratégies mixtes qu'on peut réduire à une stratégie mixte $\mu^i$ en prenant l'espérance: si $E\subset S^i $ est un ensemble mesurable, on pose $\mu^i(E)=\int \mu(E)d\alpha^i(\mu)$. En termes géométriques, on peut voir une probabilité sur $\Delta(S^i)$ comme une combinaison convexe de stratégies mixtes et l'identifier à son barycentre.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{Équilibres}

La problématique principale de la théorie des jeux répétés est d'étudier l'existence, voire la caractérisation, des solutions dans les jeux d'horizon long. Deux approches sont possibles: considérer les solutions de jeux à horizon fixé et étudier leur limite quand l'horizon tend vers l'infini, ou formuler un concept de solution directement sur le jeu d'horizon infini.

\Subsection{Équilibres: l'approche compacte}

\skpt
\begin{definition}
\begin{itemize}
\item
La forme stratégique du jeu répété $T$ fois $\Gamma_T$ est donnée par:\vspace*{-3pt}
$$(N, (S^i)_{i\in N}, \gamma^i_T)$$
avec $\gamma^i_T(s)=\E_{\prob_s}[\frac1T\sum_{t=1}^T g^{i,k_t}(a_t)]$.
\item
La forme stratégique du jeu $\Gamma_\lambda$ est donnée par:\vspace*{-3pt}
$$(N, (S^i)_{i\in N}, \gamma^i_\lambda)$$
avec $\gamma^i_\lambda(s)=\E_{\prob_s}[\sum_{t\ge1}\lambda(1-\lambda)^{t-1} g^{i,k_t}(a_t)]$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark} Grâce au théorème de Kuhn, nous pouvons définir les extension mixtes de ces jeux en utilisant les stratégies de comportement.

\begin{itemize}
\item
L'extension mixte de $\Gamma_T$ peut s'identifier au jeu sous forme stratégique:\vspace*{-3pt}
$$(N, (\Sigma^i)_{i\in N}, \gamma^i_T)$$
avec $\gamma^i_T(\sigma)=\E_{\prob_\sigma}[\frac1T\sum_{t=1}^T g^{i,k_t}(a_t)]$.
\item
L'extension mixte de $\Gamma_\lambda$ peut s'identifier au jeu sous forme stratégique:\vspace*{-3pt}
$$(N, (\Sigma^i)_{i\in N}, \gamma^i_\lambda)$$
avec $\gamma^i_\lambda(\sigma)=\E_{\prob_\sigma}[\sum_{t\ge1}\lambda(1-\lambda)^{t-1} g^{i,k_t}(a_t)]$.
\end{itemize}
\end{remark}

On peut alors appliquer les théorèmes d'existence.

\begin{theorem}
Pour tout entier $T$ et tout $\lambda\in {}]0,1]$, les jeux $\Gamma_T$ et $\Gamma_\lambda$ admettent des équilibres de Nash en stratégies de comportement. En~particulier, dans le cas de jeu à somme nulle, $\Gamma_T$ et $\Gamma_\lambda$ ont chacun une valeur et les deux joueurs ont des stratégies optimales.
\end{theorem}

\begin{proof} Les ensembles des stratégies pures sont compacts pour la topologie produit. De plus, les fonctions de paiements $\gamma^i_T$ et $\gamma^i_\lambda$ sont continues pour la topologie produit: on vérifie aisément que si une suite de stratégies $(s_q)_q$ converge simplement vers $s$ alors les paiements associés convergent: c'est évident pour $\gamma^i_T$, et pour $\gamma^i_\lambda$, comme les paiements d'étapes sont uniformément bornés, on peut majorer la queue de la série par $\vare$ uniformément par rapport aux stratégies. D'après le théorème 4.4 du premier texte de ce volume, il existe un équilibre en stratégies mixtes, et grâce au théorème de Kuhn, c'est un équilibre en stratégies de comportement.
\end{proof}

\skpt
\begin{nota*}
\begin{enumerate}
\item
On notera $E_T$ l'ensemble des paiements d'équilibres du jeu $\Gamma_T$: l'ensemble des $x\in\reals^N$ pour lesquels il existe un équilibre de Nash $\sigma$ de $\Gamma_T$ tel que $\gamma^i_T(\sigma)=x^i$, $\forall i$. Dans le cas des jeux à somme nulle, on notera $v_T$ la valeur de $\Gamma_T$.

\item
On notera $E_\lambda$ l'ensemble des paiements d'équilibres du jeu $\Gamma_\lambda$ et dans le cas des jeux à somme nulle, on notera $v_\lambda$ la valeur de $\Gamma_\lambda$.
\end{enumerate}
\end{nota*}

L'approche compacte consiste en l'étude de la limite de $E_T$ (ou $v_T$) quand $T$ tends vers l'infini et de $E_\lambda$ (ou $v_\lambda$) quand $\lambda$ tend vers 0.

\subsection{Équilibres: l'approche uniforme} On veut ici se placer direc\-tement dans le cas limite d'horizon infini: considérons le jeu $\Gamma_\infty$ dans lequel le paiement final du joueur~$i$ induit par des stratégies de comportement $\sigma=(\sigma^i)_{i \in N}$ est $\lim_T\gamma^i_T(\sigma)$ si cette limite existe.

Pour pallier l'absence éventuelle de limite, on peut considérer la limite supérieure ou la limite inférieure (de ces suites bornées). On~peut également avoir un critère de paiement linéaire en utilisant une \emph{limite de Banach}, c'est-à-dire une forme linéaire $L$ sur $\ell^\infty$ telle que pour toute suite réelle bornée $x=(x_n)_n$, $\underline{\mathrm{lim}}_n x_n\le L(x)\le \overline{\mathrm{lim}}_n x_n$. Une telle forme linéaire existe par application du théorème de Hahn- Banach à l'application sous-linéaire $\overline{\mathrm{lim}}$. Les limites de Banach sont les éléments du dual topologique de $\ell^\infty$ qui s'annulent sur l'espace des suites qui tendent vers $0$, et valent $1$ pour la suite constante égale à~$1$.

Toutefois, les applications $\sigma\mto \overline{\mathrm{lim}}_T\gamma^i_T(\sigma)$, $\sigma\mto \underline{\mathrm{lim}}_T\gamma^i_T(\sigma)$, $\sigma\mto L((\gamma^i_T(\sigma))_T)$ ne sont pas continues pour la topologie produit: changer le paiement en un nombre fini d'étapes ne change pas la limite de Cesàro.

On adopte donc l'approche uniforme qui définit les solutions de~$\Gamma_\infty$ comme des solutions approchées de jeux finiment répétés arbitrairement longs. Nous donnons d'abord les définitions dans le cas de la somme nulle.

\begin{definition}
Soit $\Gamma_\infty$ un jeu infiniment répété à somme nulle, notons $g=g^1=-g^2$.

\begin{itemize}
\item
Le joueur~1 \emph{garantit uniformément} le paiement $d\in \reals$ si:
\[
\forall \vare>0,\, \exists \sigma^1\in \Sigma^1,\, \exists T_0,\, \forall \sigma^2\in \Sigma^2,\, \forall T\ge T_0,\quad \gamma_T(\sigma^1,\sigma^2)\ge d-\vare.
\]

\item
Le joueur~2 \emph{défend uniformément} le paiement $d\in \reals$ si:
\[
\forall \vare>0,\,\forall \sigma^1\in \Sigma^1,\,\exists \sigma^2\in \Sigma^2,\, \exists T_0,\,\forall T\ge T_0,\quad \gamma_T(\sigma^1,\sigma^2)\le d+\vare.
\]

\item
Le maxmin uniforme $\underline{v}$ de $\Gamma_\infty$, s'il existe, est tel que le joueur~1 garantit uniformément $\underline{v}$ et le joueur~2 défend uniformément $\underline{v}$. On définit le minmax uniforme $\overline{v}$ en échangeant les rôles des joueurs.

\item
Le jeu $\Gamma_\infty$ a une valeur $v$ si $\underline{v}=\overline {v}=v$.

\item
Lorsque le jeu a une valeur, une stratégie $\sigma^1$ du joueur~1 sera dite optimale si elle vérifie:
\[
\forall \vare>0,\,\exists T_0,\,\forall \sigma^2\in \Sigma^2,\,\forall T\ge T_0,\quad\gamma_T(\sigma^1,\sigma^2)\ge v-\vare.
\]

On définit de manière similaire les stratégies optimales du joueur~2.
\end{itemize}
\end{definition}

Pour les jeux à somme non nulle nous donnons une définition analogue:

\begin{definition} Soit $\Gamma_\infty$ un jeu infiniment répété. Un profil de stratégies de comportement $\sigma=(\sigma^i)_{i\in N}$ est un \emph{équilibre uniforme} de $\Gamma_\infty$~si, pour tout $i\in N$, la suite $(\gamma^i_T(\sigma))_T$ converge vers une limite $\gamma^{i}_\infty (\sigma)$ quand $T$ tend vers $+\infty$, et de plus,
\[
\forall \vare>0,\,\exists T_0,\,\forall T\ge T_0,\,\forall i \in N,\,\forall \tau^i\in \Sigma^i,\quad\gamma^i_T(\tau^i,\sigma^{-i})\leq \gamma^i_T(\sigma)+\vare.
\]
\end{definition}

Un équilibre uniforme est donc un $\vare$-équilibre dans tout jeu finiment répété suffisamment long. Nous noterons $E_\infty$ l'ensemble des paiements d'équilibres uniformes de $\Gamma_\infty$.

\subsection{Principales questions} Les questions auxquelles nous allons nous intéresser par la suite sont, pour la somme nulle et l'approche compacte: $\lim_T v_T$, $\lim_ \lambda v_\lambda$ existent-elles, sont-elles égales, peut-on calculer ces limites ? Pour l'approche uniforme, le minmax et le maxmin uniformes existent-ils, existe-t-il une valeur, peut-on la calculer, quels sont les liens avec $\lim_T v_T$ et $\lim_\lambda v_\lambda$? Les mêmes questions se posent en somme non nulle pour les paiements d'équilibres.

La partie suivante traite du cas le plus simple de jeu répété: les jeux répétés à information complète et observation parfaite.

\section{Jeux répétés à information complète et\nobreakspace observation\nobreakspace parfaite} Soit $G=(N, (A^i)_{i\in N}, (g^i)_{i\in N})$ un jeu fini. Considérons le jeu répété dans lequel le jeu $G$ est joué à chaque étape $t\in \naturals^*$ et si $a_t\in A$ est le profil d'actions joué en date $t$, $a_t$ est observé par tous les joueurs. C'est un cas très simple de jeu répété dans lequel l'ensemble d'états est réduit à un singleton et les signaux des joueurs sont \emph{parfaits}, c'est-à-dire qu'ils révèlent parfaitement les actions jouées.

Commençons par un lemme immédiat.

\begin{lemma}
Soit $\alpha=(\alpha^i)_{i\in N}\in \prod_{i\in N} \Delta(A^i)$ un équilibre de Nash du jeu $G$. Le profil de stratégies de comportement $\sigma$ tel que pour tout~$i$, pour tout $h^i_t$, $\sigma^i(h^i_t)=\alpha^i$ est un équilibre de Nash de $\Gamma_T$, de $\Gamma_\lambda$ (pour tout $T$ et tout $\lambda$) et un équilibre uniforme de $\Gamma_\infty$.
\end{lemma}

Il s'ensuit:

\begin{corollary} Si le jeu $G$ est à somme nulle de valeur $v$ alors, pour tout $T$ et tout $\lambda$, $v_T\!=\!v_\lambda\!=\!v$. De plus, la valeur de $\Gamma_\infty$ existe et~vaut~$v$.
\end{corollary}

Dans le cas des jeux répétés à information complète, la répétition d'un jeu à somme nulle ne change pas la valeur. Examinons maintenant le cas de la somme quelconque.

\begin{notas*}
Posons $g:A\to\reals$ l'application \og vecteur de paiement\fg, $g(a)=(g^i(a))_{i\in N}$. On appelle \emph{ensemble réalisable} l'enveloppe convexe $\co g(A)$ des vecteurs $g(a)$, $a\in A$.

Pour chaque joueur~$i$, posons
$$v^i=\min_{\alpha^{-i}\in\prod_{j\neq i}\Delta(A^j)}\max_{a^i\in A^i}g^{i}(a^{i}, \alpha^{-i})$$
et $\IR=\left\{x\in \reals^n\mid  \forall i\in N,\, x^i\geq v^i\right\}$. La quantité $v^i$ s'appelle \emph{niveau de rationalité individuelle} ou \emph{niveau minmax} du joueur~$i$: $v^i$ est le plus petit paiement que le joueur~$i$ peut obtenir dans le jeu $G$ en jouant une meilleure réponse contre un profil de stratégies mixtes de ses adversaires. C'est aussi le plus petit paiement que les joueurs $-i$ peuvent garantir s'ils jouent dans le but de minimiser le paiement du joueur~$i$.

Posons enfin $E=\co g(A)\cap \IR$. Remarquons que si le jeu $G$ est à somme nulle de valeur $v$, $E$ se réduit au singleton $\left\{(v,-v)\right\}$.
\end{notas*}

\begin{lemma} Les ensembles de paiements d'équilibres $E_T$, $E_\lambda$ et $E_\infty$ sont inclus dans $E$ (pour tous $T$, $\lambda$).
\end{lemma}

\begin{proof} Pour tout profil de stratégies $\sigma$, le vecteur de paiement appartient à chaque étape au convexe compact $\co g(A)$. En prenant la moyenne (arithmétique ou escomptée) puis l'espérance, le vecteur de paiement du jeu répété est également dans $\co g(A)$.

Pour l'inclusion dans $\IR$, soit $\sigma$ un équilibre de $\Gamma_T$ (\resp de $\Gamma_\lambda$, \resp un équilibre uniforme) et soit $i$ un joueur. Définissons une stratégie $\tau^i$ du joueur~$i$ qui à chaque étape $t$ et après chaque histoire $h_t$ joue une action qui maximise sur $A^{i}$ la quantité $g^i(a^i, (\sigma^j(h_t))_{j\neq i})$. D'après la définition de $v^i$, $g^i(\tau^i(h_t), (\sigma^j(h_t))_{j\neq i})\geq v^i$, pour tout $t$ et pour toute histoire $h_T$. Il s'ensuit $\gamma^i_T(\tau^i,\sigma^{-i})\geq v^i$ et $\gamma^i_\lambda(\tau^i,\sigma^{-i})\geq v^i$, pour tous $T$ et $\lambda$. Comme $\sigma$ est un équilibre de $\Gamma_T$,\vspace*{-3pt}
\[
\gamma^i_T(\sigma)\geq \gamma^i_T(\tau^i,\sigma^{-i})\geq v^i.
\]
La conclusion est identique pour $\Gamma_\lambda$ et pour les équilibres uniformes on conclut en remarquant que\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.7\baselineskip}
\[
\lim_T\gamma^i_T(\sigma)\geq \overline{\mathrm{lim}}_T\gamma^i_T(\tau^i,\sigma^{-i})\geq v^i.\qedhere
\]
\end{proof}

\subsection{Le jeu \texorpdfstring{$\Gamma_\infty$}{Ginf}}

Le résultat principal dit que l'inclusion inverse est vraie: les paiements d'équilibres sont les paiements réalisables et individuellement rationnels. Ce résultat s'appelle communément le \emph{Folk Théorème} car était informellement connu de bon nombre de chercheurs dès les années 60 mais est resté plusieurs années non publié. Les premières version publiées sont dues à Aumann et Shapley (1976) (ré-édité en 1994) et à Rubinstein (1977).

Ce résultat se formule pour le jeu $\Gamma_\infty$.

\begin{theorem} $E_\infty =E$.
\end{theorem}

\begin{proof} Considérons un paiement $x$ dans $E$. Comme $x$ est réalisable, il existe une partie $h=(a_1,\ldots,a_t,\ldots)$ telle que pour tout joueur~$i$, $\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T g^i(a_t) \xrightarrow[T \to \infty] {} x^i.$ Nous appellerons $h$ le plan principal de la stratégie, et jouer selon $h$ pour un joueur~$i$ en date $t$ signifie jouer la $i$-ème composante de $a_t$. Pour chaque couple de joueurs distincts $(i,j)$, fixons $\alpha^{i,j}$ dans $\Delta(A^j)$ de façon à ce que $(\alpha^{i,j})_{j\neq i}$ réalise le min dans l'expression de $v^i$. Fixons maintenant un joueur~$i$ dans $N$, et définissons une stratégie $\sigma^i$. $\sigma^i$ commence en date 1 par jouer selon le plan principal, et continue de jouer selon $h$ tant que tous les autres joueurs le font. Si à une certaine date $t\geq 1$, pour la première fois un joueur $j$ ne joue pas selon le plan principal, alors $\sigma^i$ joue à toutes les dates ultérieures la probabilité $\alpha^{j,i}$ (si pour la première fois à la même date plusieurs joueurs sortent du plan principal, on punit celui de ces joueurs qui est le plus petit).

Si tous les joueurs adoptent ces stratégies, la suite $(a_t)_{t\in \naturals^*}$ sera jouée et le paiement moyen limite réalisé est bien $x$. Supposons que le joueur~$i$ emploie une stratégie $\tau^i$ qui sort du plan principal pour la première fois en date $t$, alors que les autres jouent $\sigma^{-i}$. Le joueur~$i$ recevra au plus $v^{i}$ à toutes les dates suivantes. Son paiement moyen en date $T$ sera donc majoré par:
\[
\begin{cases}
\dpl\frac1T\biggl(\sum_{t=1}^{T-1} g^i(a_t)+M\biggr)& \text{si }t\ge T;\\[5pt]
\dpl\frac{t-1}{T}\sum_{s=1}^{t-1} g^i(a_s) + \frac1T M +\frac{T-t}{T} v^i& \text{si }t<T,
\end{cases} 
\]
où $M=\max_{i,a}\left|g^i(a)\right|$. Soit $\vare>0$, choisissons $T_0$ assez grand tel que pour tout $T\ge T_0$:
\[
\frac1T M\le \frac{\vare}{2}\quad\text{et}\quad
\Big(\frac{t-1}{T}>\frac{\vare}{2M}\implies\frac{1}{t-1}\sum_{s=1}^ {t-1} g^i(a_s)\le x^i+\frac{\vare}{2}\Big).
\]
Comme $v^i\le x^i$, le paiement du joueur~$i$ est majoré par $x^i+\vare$ et ce pour toute déviation.
\end{proof}

\subsubsection*{Le Dilemme du prisonnier répété}
Reprenons le jeu du Dilemme du prisonnier:
\[
\begin{array}{rc}
&C\hspace*{5mm}D
\\
\begin{array}{r}
C\\D
\end{array}
&\arraycolsep5pt\begin{array}{|c|c|}
\hline
3,3 & 0,4
\\
\hline 
4,0 & 1,1\\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]
Dans ce cas, l'ensemble $E$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{picture}(80,80)
\put(15,25){\line(1,-1){10}}
\put(15,35){\line(1,-1){20}}
\put(15,45){\line(1,-1){30}}
\put(15,55){\line(1,-1){40}}
\put(15,55){\line(1,-1){40}}
\put(30,50){\line(1,-1){20}}
\put(-2,0){\vector(1,0){82}}
\put(0,-2){\vector(0,1){82}}
\put(60,0){\circle{1}}
\put(15,15){\circle{1}}
\put(0,60){\circle{1}}
\put(45,45){\circle{1}}
\put(15,15){\line(3,-1){46}}
\put(0,60){\line(3,-1){46}}
\put(45,45){\line(1,-3){15.33}}
\put(0,60){\line(1,-3){15.33}}
\put(15,-1){\line(0,1){2}}
\put(30,-1){\line(0,1){2}}
\put(45,-1){\line(0,1){2}}
\put(60,-1){\line(0,1){2}}
\put(-1,15){\line(1,0){2}}
\put(-1,30){\line(1,0){2}}
\put(-1,45){\line(1,0){2}}
\put(-1,60){\line(1,0){2}}
\put(30,30){$E$}
\put(13,-10){$1$}
\put(58,-10){$4$}
\put(-10,15){$1$}
\put(-10,60){$4$}
\put(-9,-9){$0$}
\put(15,15){\line(0,1){40}}
\put(15,15){\line(1,0){40}}
\end{picture}
\end{center}

\bigskip
Bien que l'action $C$ soit strictement dominée pour chaque joueur, on construit un équilibre uniforme de paiement $(3,3)$: jouer $C$ si l'autre a toujours fait de même dans le passé, sinon jouer $D$.

\subsection{Le jeu \texorpdfstring{$\Gamma_T$}{GT}} Nous allons maintenant voir si l'approche uniforme et l'approche compacte donnent les mêmes résultats: la limite de~$E_T$ est-elle égale à $E$ ? La convergence d'ensemble est au sens de la distance de Hausdorff. Étant donnés deux compacts $A$, $B$ de $\reals^n$, on pose $d(A,B)=\max\left\{\max_{a\in A}d(a,B), \max_{b\in B}d(b,A)\right\}$. Comme $E_T\subset E$, $E_T\to E$ revient à:
$$\forall \vare>0,\,\exists T_0,\, \forall T\ge T_0,\, \forall x\in E,\, \exists y\in E_T: \quad \left\|x-y\right\|\leq \vare$$

On a la propriété:
\begin{proposition} Pour tous entiers $T$ et $T'$, on a
$$
TE_T+T'E_{T'}\subset (T+T') E_{T+T'}.
$$
\end{proposition}

Ici, $\alpha A+\beta B$ désigne l'ensemble des $\alpha a+\beta b$, avec $a\in A$, $b\in B$. Ce~résultat s'obtient simplement en remarquant que jouer un équilibre de $E_T$ puis un équilibre de $E_{T'}$ est un équilibre de $E_{T+T'}$. $(E_T)_T$~se comporte comme une suite croissante d'ensembles: si elle converge c'est forcément vers $\cup_T E_T$.

Considérons le dilemme du prisonnier encore une fois. Il est clair que pour tout équilibre de Nash du jeu $\Gamma_T$, les joueurs doivent jouer~$D$ à la dernière étape, quelle que soit l'histoire passée: on ne peut en effet pas les menacer de représailles. Le jeu est donc équivalent à un jeu de longueur $T-1$, les actions d'étapes $T$ étant fixées. Mais alors les joueurs ne peuvent pas non plus se menacer mutuellement en étape $T-1$, puisqu'il joueront $D$ ensuite quoiqu'il arrive. Ils joueront donc~$D$ également en $T-1$. Par récurrence on obtient: $E_T=\left\{(3,3) \right\}$ pour tout $T$. Plus généralement, posons $v=(v^i)_{i\in N}$ le vecteur des niveaux de rationalité individuelle ou \emph{point de menace}, on a le résultat dû à Sorin (1986):

\begin{proposition} Si $E_1=\left\{v\right\}$ alors $E_T=\left\{v\right\}$ pour tout $T$.
\end{proposition}

La convergence de $E_T$ vers $E$ nécessite donc une condition sur les paiements du jeu. Dans un équilibre d'un jeu finiment répété, un équilibre de Nash du jeu statique doit être joué à la dernière étape. Pour que les menaces soient dissuasives, il faut que les paiements de punitions, \ie les niveaux de rationalité individuels, soient strictement inférieurs à un paiement d'équilibre de Nash de $G$: c'est précisément la condition qui manque pour le Dilemme du prisonnier. On a alors le théorème (Benoit et Krishna, 1987):

\begin{theorem} Supposons que pour tout joueur~$i$, il existe $e(i)\in E_1$ tel que $e^i(i)>v^i$. Alors $E_T\to_{T\to +\infty} E$.
\end{theorem}

\begin{proof} Soit $\vare>0$ et $x\in E$. Prenons une histoire $h=(a_1,\ldots,a_L)$ telle que $y=\frac1L\sum_{t=1}^L g(a_t)$ est à distance inférieure à $\vare$ de~$x$. Soit la suite d'actions consistant à jouer $K$ fois de suite l'histoire~$h$, pour un certain entier $K$.

La stratégie consiste à jouer cette suite puis à jouer $R$ fois les équilibres de $G$ correspondant aux paiements $(e(1),\ldots,e(N))$, si aucune déviation n'apparaît au cours des $LK$ premières étapes (on note~$N$ le nombre de joueurs). Si un joueur~$i$ dévie à une de ces étapes, il~est puni au niveau $v^i$ jusqu'a la fin du jeu. Ceci définit un profil de stratégies pour le jeu répété $T=LK+RN$ fois. Vérifions que c'est un équilibre dont le paiement est proche de $x$ pour $K$ et $R$ bien choisis.

Supposons que le joueur~$i$ dévie. Une déviation dans les $RN$ dernières étapes n'est pas profitable. S'il dévie pendant les $LK$ premières étapes, son paiement total augmente d'au plus $2M$ (on a encore posé $M=\max_{i,a}\left|g^i(a)\right|$), alors que le fait d'être puni à la fin lui fait perdre $R(e^i(i)-v^i)$. Comme $e^i(i)-v^i>0$, pour $R$ assez grand, $R(e^i(i)-v^i)>2M$ pour tout $i$.

Le paiement moyen si tous les joueurs utilisent ces stratégies est
$$
\frac{LK}{LK+RN}\,y+\frac{R}{LK+RN}\sum_i g(e(i)),
$$
dont la distance à $y$ est inférieure à
$$
\frac{2MN}{L}\cdot\frac{R}{K}
$$
et peut être rendue inférieure à $\vare$ en choisissant $K$ grand devant $R$.

Enfin, si le nombre de répétitions $T$ n'est pas de la forme $LK+RN$, il existe $K$ tel que $LK+RN<T<L(K+1)+RN$. On prend alors la stratégie définie ci-dessus pour $K$ et on la complète en jouant un équilibre de $G$ (par exemple celui de paiement $e(1)$) aux dernières étapes du jeu.
\end{proof}

\subsection{Le jeu \texorpdfstring{$\Gamma_\lambda$}{Gl}} A la différence du jeu finiment répété, le jeu escom\-pté n'a pas de fin, il est donc possible, à n'importe quelle étape de menacer les joueurs de représailles. Toutefois, considérons le jeu à trois joueurs suivant (Forges, Mertens et Neyman, 1986), dans lequel le joueur 3 n'a qu'une action.\vspace*{-3pt}
\[
\begin{array}{rc}
&P\hspace*{12mm}F
\\
\begin{array}{r}
P\\F
\end{array}
&\arraycolsep5pt\begin{array}{|c|c|}
\hline
1,-1,0 & -1,1,0
\\
\hline 
 -1,1,0 & 1,-1,1\\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]
Il s'agit d'un jeu à somme nulle entre les joueurs 1 et 2 (c'est Matching Pennies) dont la valeur est 0 et chaque joueur (1 ou 2) a une unique stratégie optimale: le jeu à un unique équilibre de Nash dans lequel chaque joueur joue l'action mixte $(\frac12,\frac12)$. Dans le jeu~$\Gamma_\lambda$ (ou dans $\Gamma_T$), l'unique équilibre consiste à jouer $(\frac12,\frac12)$ à chaque étape, indépendamment du passé. Le seul paiement d'équilibre de $\Gamma_\lambda$ (\resp de~$\Gamma_T$) est donc $(0,0,\frac14)$ alors que $(0,0,\frac12)$ est dans $E$. Comme dans le jeu finiment répété, il faut introduire une condition pour garantir $E_\lambda\to_{\lambda\to 0}E$.\enlargethispage{\baselineskip}

\begin{theorem}[Sorin, 1986]
Si le jeu est à deux joueurs ou qu'il existe $x\in E$ tel que $x^i>v^i$ pour tout $i$, alors $E_\lambda\to_{\lambda\to 0}E$.
\end{theorem}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Supposons que l'ensemble des $x$ de $E$ tels que $x^i>v^i$ pour tout~$i$ est non vide et prenons $\vare>0$. Il existe un entier $n$ tel que pour tout $y\in E$, on peut trouver dans la boule de centre $y$ et de rayon $\vare$ un~$x_n$ vérifiant $x^n_i>v^i+\frac{\vare}{2}$ pour tout $i$ et tel que $x_n$ est une combinaison convexe des $g(a)$ avec des coefficients rationnels de la forme $\sfrac{n_a}{n}$.

Construisons alors une suite $n$-périodique de profils d'actions telle que chaque profil $a\in A$ apparaît $n_a$ fois dans une période et notons $(a^*_t)_t$ cette suite. Ainsi, $x^{n}=\frac1n\sum_{t=1}^{n}g(a^{*}_ {t})$. Soit $\sigma$ le profil de stratégies de comportement qui consiste à jouer $a^*_t$ en date $t$ si cette consigne a été respectée par tous les joueurs dans le passé, et à punir pour toujours le joueur~$i$ (au niveau $v^i$) si celui-ci dévie. Montrons maintenant que pour $\lambda$ suffisamment proche de 0, $\sigma$ est un équilibre qui induit un paiement proche de $y$.

Comme la suite d'actions est périodique, pour $0<\lambda<1$,\vspace*{-3pt}
$$\gamma_\lambda(\sigma) =\sum_{t=1}^n \frac{\lambda(1-\lambda)^{t-1}}{1-(1-\lambda)^n}\,g(a^*_t)$$
Pour tout $t$,
$$
\lim_{\lambda\to 0} \frac{\lambda(1-\lambda)^{t-1}}{1-(1-\lambda)^n}=\frac1n,
$$
donc $\lim_{\lambda\to 0} \gamma_\lambda(\sigma)=x^n$, de plus la convergence est uniforme par rapport au point $x^n$ considéré. Il existe donc $\lambda_0$ tel que pour tout $\lambda<\lambda_0$, on ait $\left\|\gamma_\lambda(\sigma)-y\right\|\le 2\vare$, $\lambda_0$ étant uniforme par rapport au choix de~$y$ dans $E$.

Supposons maintenant que le joueur~$i$ dévie. Grâce à la périodicité, supposons sans perte de généralité qu'il joue pour la première fois une action $a^{i}$ différente de $a^{*i}_{T}$ au cours de la première période en date $T$, $1\le T\le n$. Posons encore une fois $M=\max_{i,a}\left|g^i(a)\right|$ et majorons le paiement du joueur~$i$ aux $T$ premières étapes par $M$. Le paiement global est alors majoré par:
$$(1-(1-\lambda)^T)M+(1-\lambda)^T v^i<(1-(1-\lambda)^T)M+(1-\lambda)^T \Big(x_n^i-\frac{\vare}{2}\Big).$$
Pour avoir un équilibre on veut donc
$$(1-(1-\lambda)^T)M+(1-\lambda)^T \Big(x_n^i-\frac{\vare}{2}\Big)\le x_n^i\,;$$
or pour cela il suffit d'avoir $(1-(1-\lambda)^T)2M\leq (1-\lambda)^T\sfrac{\vare}{2}$ ce qui est vrai pour $\lambda$ suffisamment petit, uniformément par rapport au point~$x_n$. On a donc bien la convergence de $E_\lambda$ vers $E$.

\item
Supposons que le jeu soit à deux joueurs. Si le cas précédent ne s'applique pas alors soit, $E=\left\{v\right\}$ mais alors $v$ est le paiement d'un équilibre du jeu $G$ et il suffit de répéter cet équilibre: $E_\lambda=E$. Soit, pour tout $x$ dans $E$, $x^1=v^1$ et il existe $x$ dans $E$ tel que $x^2>v^2$ (ou la condition symétrique en échangeant les deux joueurs). Ceci implique que $v^1$ est le paiement maximal du joueur~1. On construit donc un équilibre comme dans le cas précédent mais sans tenir compte des déviations de ce joueur (qui n'y a jamais intérêt).\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Équilibres sous-jeux parfaits}
Certains équilibres construits dans les paragraphes précédents sont critiquables en tant que solutions rationnelles car reposant sur des menaces non crédibles: étant donné qu'un joueur a dévié, rien n'assure que ses adversaires auront intérêt à le punir. On introduit alors la notion d'\emph{équilibre sous-jeu parfait}. Un profil de stratégies $ \sigma$ est un équilibre sous-jeu parfait si pour toute histoire $h$, $\sigma$ induit un équilibre dans le jeu répété qui reste à jouer après $h$. On note $E'_\infty$ l'ensemble des paiements d'équilibres sous-jeu parfaits de $\Gamma_\infty$ (de même $E'_T$ et~$E'_\lambda$). Cette notion avait déjà été considérée par Aumann-Shapley et Rubinstein et on a:\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{theorem} $E'_\infty=E_\infty=E$.
\end{theorem}

La démonstration est simple, il suffit d'adapter la construction du Folk théorème: si un joueur dévie en date $t$, il est puni jusqu'à la date $t^2$, après quoi les joueurs oublient la déviation et se remettent à jouer la suite prévue. La longueur de la punition est suffisante pour faire perdre tout intérêt à dévier, les $t^{2}-t$ étapes de punitions étant prépondérantes devant les $t$ premières étapes. De plus un joueur n'hésitera pas à appliquer la punition puisqu'un nombre fini de dates ne compte pas sur son paiement limite.

Pour les jeux finiment répétés et les jeux escomptés, il faut ajouter encore des conditions.

\begin{theorem}[Benoit et Krishna, 1985, Gossner, 1995]
Supposons que pour tout $i$, il existe $e(i), f(i)\in E_1$ tels que $e^i(i)>f^i(i)$. Alors $E'_T\to_{T\to +\infty} E$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Fudenberg et Maskin, 1986]
Si $E$ est d'intérieur non vide alors, $E'_\lambda\to_{\lambda\to 0}E$.
\end{theorem}

L'intuition est la même pour ces deux résultats. On construit une suite d'actions qui donne le bon paiement et que les joueurs doivent suivre. En cas de déviation, on punit pendant un nombre fini d'étapes et la phase de punition est suivie d'une phase de récompense: si le joueur $j$ a correctement puni le joueur~$i$, il reçoit la récompense, sinon il est puni à son tour. Dans le cas des jeux finiment répétés, comme on doit finir le jeu par des équilibres statiques, on récompense $i$ en lui donnant le paiement $e^i(i)$ (et $f^i(i)$ s'il n'a pas appliqué les \hbox{punitions}). Dans le cas des jeux escomptés, l'hypothèse d'intérieur non vide assure que, si le vecteur de paiement à atteindre est à l'intérieur de $E$, il est possible d'induire des paiements escomptés futurs dans n'importe quelle direction, et donc d'augmenter ou de diminuer le paiement de n'importe quel joueur.\enlargethispage{1.5\baselineskip}%

\subsection{Extensions: jeux avec signaux}
Nous n'avons traité ici que du cas d'observation parfaite. Cette hypothèse est cruciale pour le Folk théorème et la construction d'équilibre correspondante. Dans le modèle général avec des signaux quelconques, les phénomènes suivants (notamment) apparaissent:
\begin{enumerate}
\item
Il peut y avoir des déviations indétectables: un joueur peut choisir une autre action que celle prescrite sans modifier les signaux des autres joueurs. Un profil d'actions $a$ pour lequel un joueur~$i$ peut dévier profitablement -- jouer $b^i$ tel que $g^i(b^i,a^{-i})> g^i(a)$ -- sans changer les signaux des autres joueurs, ne peut pas être joué dans un équilibre du jeu répété.
\item
Lorsqu'une déviation est détectée, plusieurs joueurs peuvent être suspectés: les signaux peuvent être compatibles avec des déviations de différents joueurs. On ne peut donc pas toujours construire des équilibres en punissant \emph{un} joueur à son niveau minmax.
\item
La finesse des signaux pouvant différer d'un joueur à l'autre, certains joueurs peuvent détecter une déviation et pas d'autres. Les joueurs les mieux informés peuvent essayer de communiquer leurs informations aux autres, cette communication devant se faire au travers des signaux et devant être robuste aux déviations unilatérales.
\end{enumerate}

Les deux branches principales de cette littérature suivent la dicho\-tomie que nous avons introduite: approche uniforme \emph{vs} approche compacte. Dans l'approche uniforme les premières caractérisations de paiements d'équilibres dans les jeux avec signaux sont dues à E.\,Lehrer (1989, 1992). Des avancées récentes sont dues à Renault et Tomala (1998, 2004a) et à Gossner et Tomala (2006a, 2006b).

Pour l'approche compacte, la majorité des articles étudient le jeux escomptés et les équilibres sous-jeux parfaits. Les articles de référence sont Abreu, Pearce et Stachetti (1990), Fudenberg et Levine (1994) et Fudenberg, Levine et Maskin (1994).

La recherche est actuellement très active dans ces deux branches.

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups06-02}
\end{document}

