Sur les équations d’Halphen et les actions de $S{L}_2\left(𝐂\right)$

Guillot, Adolfo

Publications Mathématiques de l'IHÉS, Tome 105 (2007), pp. 221-294.

On étudie les aspects locaux et globaux des actions holomorphes de ${\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$ sur les variétés complexes de dimension trois, à partir de l’étude des algèbres de Lie de champs de vecteurs qui engendrent une action uniforme. On décrit géométriquement et dynamiquement une famille de telles algèbres étudiée par Halphen vers la fin du XIXème siècle. On donne des formes normales pour les actions de S${\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$ au voisinage des orbites unidimensionnelles. On étudie ensuite les compactifications équivariantes des espaces homogènes de ${\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$. On prouve que si $\Gamma \subset {\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$ est un sous-groupe discret non-élémentaire alors $\Gamma \setminus {\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$ admet une compactification équivariante (comme variété complexe) si et seulement si $\Gamma$ est géométriquement fini et n’a pas d’éléments paraboliques. On démontre que toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement équivalentes. De plus, si $\Gamma$ n’a pas de torsion, $\Gamma \setminus {\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$ admet une compactification minimale, obtenue comme quotient d’un ouvert de l’unique compactification biéquivariante de ${\mathrm{SL}}_2\left(𝐂\right)$.

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