Théorie des nombres
Approximation simultanée d'un nombre et de son carré

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Roy, Damien1
1 Département de mathématiques, Université d'Ottawa, 585 King Edward, Ottawa, Ontario K1N 6N5, Canada
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 1, pp. 1-6.

En 1969, H. Davenport et W.M. Schmidt ont établi une mesure d'approximation simultanée pour un nombre réel ξ et son carré par des nombres rationnels de même dénominateur. Cette mesure suppose seulement que le nombre ξ n'est ni rationnel ni quadratique sur Q. Nous montrons ici, par un exemple, que cette mesure est optimale. Nous indiquons aussi plusieurs propriétés des nombres pour lesquels cette mesure est optimale, notamment en ce qui concerne l'approximation par les entiers algébriques de degré au plus trois.

In 1969, H. Davenport and W.M. Schmidt established a measure of the simultaneous approximation for a real number ξ and its square by rational numbers with the same denominator, assuming only that ξ is not rational nor quadratic over Q. Here, we show by an example, that this measure is optimal. We also indicate several properties of the numbers for which this measure is optimal, in particular with respect to approximation by algebraic integers of degree at most three.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)00005-5
Roy, Damien 1

1 Département de mathématiques, Université d'Ottawa, 585 King Edward, Ottawa, Ontario K1N 6N5, Canada 
@article{CRMATH_2003__336_1_1_0,
     author = {Roy, Damien},
     title = {Approximation simultan\'ee d'un nombre et de son carr\'e},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1--6},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {1},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)00005-5},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)00005-5/}
}
TY  - JOUR
AU  - Roy, Damien
TI  - Approximation simultanée d'un nombre et de son carré
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 1
EP  - 6
VL  - 336
IS  - 1
PB  - Elsevier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)00005-5/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)00005-5
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__336_1_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Roy, Damien
%T Approximation simultanée d'un nombre et de son carré
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 1-6
%V 336
%N 1
%I Elsevier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)00005-5/
%R 10.1016/S1631-073X(02)00005-5
%G fr
%F CRMATH_2003__336_1_1_0
Roy, Damien. Approximation simultanée d'un nombre et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 1, pp. 1-6. doi : 10.1016/S1631-073X(02)00005-5. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)00005-5/

[1] Allouche, J.-P.; Davison, J.L.; Queffélec, M.; Zamboni, L.Q. Transcendence of Sturmian or morphic continued fractions, J. Number Theory, Volume 91 (2001), pp. 39-66

[2] Bugeaud, Y.; Teulié, O. Approximation d'un nombre réel par des nombres algébriques de degré donné, Acta Arith., Volume 93 (2000), pp. 77-86

[3] Cassels, J.W.S. An Introduction to Diophantine Approximation, Cambridge University Press, 1957

[4] Davenport, H.; Schmidt, W.M. Approximation to real numbers by algebraic integers, Acta Arith., Volume 15 (1969), pp. 393-416 (=H. Davenport, Coll. Works, Vol. II, No. 183)

[5] de Luca, A. A combinatorial property of the Fibonacci words, Inform. Process. Lett., Volume 12 (1981), pp. 193-195

[6] Lothaire, M. Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Addison-Wesley, 1983

[7] Roy, D. Approximation to real numbers by cubic algebraic integers I, Proc. London Math. Soc. (to appear) | arXiv

[8] Schmidt, W.M. Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., Vol. 785, Springer-Verlag, 1980

Cité par Sources :