An elementary proof of the uniqueness of invariant product measures for some infinite dimensional processes

Ramı́rez, Alejandro F.

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 2, pp. 139-144.

Considérons une diffusion en dimension infinie avec un espace d'état $T^{{\mathrm{Z}}^d}$, où T est le cercle, et définie par un générateur infinitésimal L qui agit sur les fonctions locales f de la façon suivante : $\mathrm{Lf}\left(\eta \right)={\sum }_{\mathrm{i}\in {\mathrm{Z}}^d}(\frac{a_i^2\left({\eta }_i\right)}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\eta }_i^2}+{\mathrm{b}}_i\left(\eta \right)\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial {\eta }_i})$. Supposons que les coefficients a_i et b_i sont C^∞, bornés, de portée finie, ont des dérivées partielles du deuxième ordre qui sont uniformément bornées, que les a_i ont une borne inférieure uniforme qui est une constante strictement positive, et que a_i est une fonction seulement de η_i. Supposons qu'il y ait une mesure produit ν qui est invariante. Nous démontrons que si ν est égale à la mesure de Lebesgue ou si d=1,2, alors ν est la seule mesure invariante. D'autre part, si ν est invariante par translation, alors ν est la seule mesure invariante, invariante par translation. Les preuves sont élémentaires. Des résultats similaires peuvent etre démontrés dans le contexte de systèmes de particules avec un espace d'état ${\{0,1\}}^{{\mathrm{Z}}^d}$, avec des taux de saut uniformément positives, à portée finie et bornés.

Consider an infinite dimensional diffusion process with state space $T^{{\mathrm{Z}}^d}$, where T is the circle, and defined by an infinitesimal generator L which acts on local functions f as $\mathrm{Lf}\left(\eta \right)={\sum }_{\mathrm{i}\in {\mathrm{Z}}^d}(\frac{a_i^2\left({\eta }_i\right)}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\eta }_i^2}+{\mathrm{b}}_i\left(\eta \right)\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial {\eta }_i})$. Suppose that the coefficients a_i and b_i are smooth, bounded, of finite range, have uniformly bounded second order partial derivatives, that a_i are uniformly bounded from below by some strictly positive constant, and that a_i is a function only of η_i. Suppose that there is a product measure ν which is invariant. Then if ν is the Lebesgue measure or if d=1,2, it is the unique invariant measure. Furthermore, if ν is translation invariant, it is the unique invariant, translation invariant measure. The proofs are elementary. Similar results can be proved in the context of an interacting particle system with state space ${\{0,1\}}^{{\mathrm{Z}}^d}$, with uniformly positive bounded flip rates which are finite range.

[1] Holley, R.; Stroock, D. Diffusions on an infinite dimensional torus, J. Functional Anal., Volume 42 (1981), pp. 29-63

[2] Kunsch, H. Nonreversible stationary measures for infinite interacting particle systems, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, Volume 66 (1984), pp. 407-424

[3] Liggett, T.M. Interacting Particle Systems, Springer-Verlag, New York, 1985

[4] Mountford, T.S. A coupling of infinite particle systems, J. Math. Kyoto Univ., Volume 35 (1995) no. 1, pp. 43-52

[5] Ramı́rez, A.F. Relative entropy and mixing properties of infinite dimensional diffusions, Probab. Theory Related Fields, Volume 110 (1998) no. 3, pp. 369-395

[6] Ramı́rez, A.F.; Varadhan, S.R.S. Relative entropy and mixing properties of interacting particle systems, J. Math. Kyoto Univ., Volume 36 (1996) no. 4, pp. 869-875