Nous considérons dans le cadre de l'élasticité non linéaire une plaque tridimensionnelle isotrope homogène de St Venant–Kirchhoff, d'épaisseur 2ε et périodique dans les deux autres directions. Le problème se ramène par changement d'échelle à un problème non linéaire de perturbations singulières sur un ouvert fixe. Nous introduisons une nouvelle méthode d'inversion singulière. En appliquant cette méthode nous prouvons, pour des forces extérieures suffisamment petites et fixées, que la solution tridimensionnelle en déplacement converge vers la solution du modèle de Kirchhoff–Love non linéaire des plaques lorsque l'épaisseur 2ε tend vers zéro. Le modèle de plaque limite contient en particulier celui de von Kármán. Nous donnons aussi une estimation a priori de la vitesse de convergence.
In the framework of nonlinear elasticity, we consider a three-dimensional plate made of a St Venant–Kirchhoff isotropic and homogeneous material of thickness 2ε and periodic in the two other directions. By a change of scales, the problem can be mapped on a fixed open set, and seen as a nonlinear singular perturbation problem. We introduce a new singular inverse method. Applying this method, we prove that for fixed and small enough exterior forces, the three-dimensional displacement converges to the solution of the nonlinear Kirchhoff–Love theory of plate as the thickness 2ε tends to zero. The limit plate model contains in particular that of von Kármán. We also give a quantitative estimate of the convergence.
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Monneau, Régis. Justification de la théorie non linéaire de Kirchhoff–Love, comme application d'une nouvelle méthode d'inversion singulière. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 7, pp. 615-620. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02310-5. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02310-5/
[1] Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis, R.M.A., Vol. 14, Masson and Springer-Verlag, Paris and Heidelberg, 1990
[2] Mathematical Elasticity, Vol II: Theory of Plates, North-Holland, Amsterdam, 1997
[3] G. Friesecke, R.D. James, S. Müller, Rigourous derivation of nonlinear plate theory and geometric rigidity, Preprint
[4] Estimates for the derivatives of the stress in a thin shell and interior shell equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 18 (1965), pp. 235-267
[5] The nonlinear membrane model as a variational limit of nonlinear three-dimensional elsticity, J. Math. Pures Appl., Volume 73 (1995), pp. 549-578
[6] Saint-Venant's problem and semi-inverse solutions in nonlinear elasticity, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 102 (1988) no. 3, pp. 205-229
[7] J.-C. Paumier, Analyse de certains problèmes non linéaires : modèles de plaques et de coques, Thèse de doctorat d'Etat, Université Pierre et Marie Curie, 1985
[8] Existence theorems for nonlinear elastic plates with periodic boundary conditions, J. Elasticity, Volume 23 (1990), pp. 233-252
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