À partir d'un corps de nombres K de degré n, on définit un tore maximal T de G=GLn. Si χ est un caractère du groupe des classes d'idèles de K, satisfaisant des conditions adéquates, les formes toriques pour χ sont les fonctions sur , dont le coefficient de Fourier correspondant à χ par rapport au sous-groupe induit par T est nul. L'hypothèse de Riemann pour L(s,χ) est équivalente à des conditions portant sur certains espaces de formes toriques, construits à partir des séries d'Eisenstein. Enfin, on construit un espace de Hilbert et un opérateur auto-adjoint sur cet espace, dont le spectre est égal à l'ensemble des zéros de L(s,χ) sur la droite critique.
An algebraic number field K defines a maximal torus T of the linear group G=GLn. Let χ be a character of the idele class group of K, satisfying suitable assumptions. The χ-toric form are the functions defined on such that the Fourier coefficient corresponding to χ with respect to the subgroup induced by T is zero. The Riemann hypothesis is equivalent to certain conditions concerning some spaces of toric forms, constructed from Eisenstein series. Furthermore, we define a Hilbert space and a self-adjoint operator on this space, whose spectrum equals the set of zeroes of L(s,χ) on the critical line.
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Lachaud, Gilles. Zéros des fonctions $ \mathbf{L}$ et formes toriques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 3, pp. 219-222. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02447-0. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02447-0/
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