Une caractérisation des fonctions holomorphes injectives en analyse ultramétrique

Rivera-Letelier, Juan

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 441-446.

On montre qu'une fonction holomorphe non-constante f définie sur un sous-espace analytique de ${ℂ}_p$ est injective si et seulement si on a

$${\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\right|}^2=\left|f\text{'}\left(x\right)·f\text{'}\left(y\right)\right|\text{,}\text{pour}\text{tout}x\text{et}y\text{distincts.}$$

Cette caractérisation démontre l'analogue, pour les fonctions holomorphes, d'une conjecture de A. Escassut et M.C. Sarmant. D'autre part on donne un contre-exemple à cette conjecture, qui concerne les éléments bi-analytiques.

We prove that a non constant holomorphic function f defined over an analytic subspace of ${ℂ}_p$ is injective if and only if

$${\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\right|}^2=\left|f\text{'}\left(x\right)·f\text{'}\left(y\right)\right|\text{,}\text{for}\text{every}\text{distinct}x\text{and}y\text{.}$$

This characterization proves the analogue, for holomorphic functions, of a conjecture of A. Escassut and M.C. Sarmant. On the other hand we give a counter-example to this conjecture, that concerns bi-analytic elements.

[1] Escassut, A. Analytic elements in p-adic analysis, World Scientific, 1995

[2] Escassut, A.; Sarmant, M.C. Injectivity, Mittag–Leffler series and Motzkin products, Ann. Sci. Math. Québec, Volume 16 (1992), pp. 155-173

[3] Fresnel, J.; van der Put, M. Géométrie Analytique rigide et applications, PM 18, Birkhäuser, 1981

[4] Morton, P.; Silverman, J. Periodic points, multiplicities, and dynamical units, J. Reine Agnew. Math., Volume 461 (1995), pp. 81-122

[5] Motzkin, E. L'arbre d'un quasi connexe : un invariant conforme p-adique, Groupe d'étude d'analyse ultramétrique, 9^eme année 3, 1981/82 (18 p)

[6] Rivera-Letelier, J. Dynamique des fonctions rationnelles sur des corps locaux, Thèse, Orsay, 2000

[7] J. Rivera-Letelier, Espace hyperbolique p-adique et dynamique des fonctions rationnelles, Stony Brook IMS preprint # 2001/12, à paraı̂tre dans Compositio Math

[8] J. Rivera-Letelier, Éléments bi-analytiques et isométries partielles de l'espace hyperbolique, Prépublication, 2002

[9] J.C. Yoccoz, Notes d'un cours au Collège de France, 2001/2002