Suivant une idée de Y. Brenier, nous donnons une représentation du cône polaire de l'ensemble K des gradients des fonctions convexes, à l'aide des applications qui conservent la mesure. Cette représentation peut être reformulée en termes de mesures doublement stochastiques et admet une caractérisation géométrique.
Nous en déduisons une équation d'Euler–Lagrange et des résultats de régularité pour certains problèmes de minimisation posés dans l'ensemble K.
Following Y. Brenier, we give a representation of the polar cone of the set K of the gradient of convex functions, implying the set of measure-preserving maps. This can also be formulated in terms of doubly stochastic measures, and has a geometrical characterization.
We deduce an Euler–Lagrange equation and regularity results for some minimization problems in the set K.
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Carlier, Guillaume; Lachand-Robert, Thomas. Représentation du cône polaire des fonctions convexes et applications. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 571-576. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02512-8. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02512-8/
[1] Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions, Comm. Pure Appl. Math., Volume 44 (1991) no. 4, pp. 375-417
[2] Regularity of solutions for some variational problems subject to convexity constraint, Comm. Pure Appl. Math., Volume 54 (2001), pp. 583-594
[3] G. Carlier, T. Lachand-Robert, Representation of the polar cone of convex functions and applications, to appear
[4] Identification du cône dual des fonctions convexes et applications, C. R. Acad. Sci. Paris (1998)
[5] Convex Analysis, Princeton University Press, 1970
Cité par Sources :
