Gibbs states of a quantum crystal: uniqueness by small particle mass

Albeverio, Sergio; Kondratiev, Yuri; Kozitsky, Yuri; Röckner, Michael

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 693-698.

On considère un modèle de particules quantiques en intéraction effectuant des oscillations anharmoniques uni-dimensionelles autour de leur positions d'équilibre sur le réseau ${\mathbb{Z}}^d$. Pour ce modèle, nous énonçons deux résultats décrivant ses propriétés d'équilibre. Le premier théorème affirme l'existence de $m_{*}>0$ tel que pour toutes les valeurs de la masse m de la particule inférieures à $m_{*}$, l'ensemble des mesures euclidiennes tempérées de Gibbs consiste en un seul élément, à toute température β⁻¹. Cela résoud un problème qui est resté ouvert pour longtemps et améliore essentiellement un résultat analogue obtenu par les mêmes auteurs, lorsque $m_{*}$ dépendait de β de sorte que $m_{*}\left(\beta \right)\to 0$ si β→+∞. Le deuxième théorème dit que la fonction de corrélation a une décroissance exponentielle si $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$.

A model of interacting quantum particles performing one-dimensional anharmonic oscillations around their unstable equilibrium positions, which form the lattice ${\mathbb{Z}}^d$, is considered. For this model, two statements describing its equilibrium properties are given. The first theorem states that there exists $m_{*}>0$ such that for all values of the particle mass $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$, the set of tempered Euclidean Gibbs measures consists of exactly one element at all values of the temperature β⁻¹. This settles a problem that was open for a long time and is an essential improvement of a similar result proved before by the same authors [1] where the boundary $m_{*}$ depended on β in such a way that $m_{*}\left(\beta \right)\to 0$ for β→+∞. The second theorem states that the two-point correlation function has an exponential decay if $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$.

[1] Albeverio, S.; Kondratiev, Yu.; Kozitsky, Yu.; Röckner, M. Uniqueness for Gibbs measures of quntum lattices for small mass regime, Ann. Inst. H. Poincaré, Probab. Statist., Volume 37 (2001) no. 1, pp. 43-69

[2] S. Albeverio, Yu. Kondratiev, Yu. Kozitsky, M. Röckner, Euclidean Gibbs states for quantum lattice systems, Preprint BiBoS, Bielefeld, 2001, to appear in Rev. Math. Phys

[3] Albeverio, S.; Kondratiev, Yu.; Kozitsky, Yu. Suppression of critical fluctuations by strong quantum effects in quantum lattice systems, Comm. Math. Phys., Volume 194 (1998), pp. 493-512

[4] S. Albeverio, Yu. Kondratiev, T. Pasurek, M. Röckner, A priori estimates and existence for Euclidean Gibbs measures, Preprint BiBoS Nr. 02-06-089, Bielefeld, 2002

[5] Barbulyak, V.S.; Kondratiev, Yu.G. The quasiclassical limit for the Schrödinger operator and phase transitions in quantum statistical physics, Func. Anal. Appl., Volume 26 (1992) no. 2, pp. 61-64

[6] Georgii, H.-O. Gibbs Measures and Phase Transitions, De Gruyter, Berlin, 1988

[7] Lebowitz, J.L.; Presutti, E. Statistical mechanics of unbounded spins, Comm. Math. Phys., Volume 50 (1976), pp. 195-218

[8] Minlos, R.A.; Verbeure, A.; Zagrebnov, V.A. A quantum crystal model in the light-mass limit: Gibbs states, Rev. Math. Phys., Volume 12 (2000), pp. 981-1032

[9] Schneider, T.; Beck, H.; Stoll, E. Quantum effects in an n-component vector model for structural phase transitions, Phys. Rev. B, Volume 13 (1976), pp. 1123-1130