Asymptotic behavior of a stochastic growth process associated with a system of interacting branching random walks

Ramı́ rez, Alejandro F.; Sidoravicius, Vladas

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 10, pp. 821-826.

Nous étudions un modèle de croissance à temps continu sur ${\mathbb{Z}}^d$ (d⩾1) associé au système de particules en interaction suivant : initiallement il y a seulement une marche aléatoire à temps continu simple, symétrique, à taux un et située à l'origine ; ensuite, aussitôt qu'une marche aléatoire visite un site jamais encore visité par aucune autre marche, une nouvelle marche est créée, partant de ce site et indépendante des autres. Nous notons P_d la loi d'un tel processus et S⁰_d(t) l'ensemble des sites déjà visités à l'instant t. Nous prouvons qu'il existe un ensemble $C_d\subset {ℝ}^d$ convexe, non-vide et borné tel que, pour tout ε>0, P_d-p.s. et pour t assez grand, l'ensemble S_d⁰(t) soit inclus dans un ε-voisinage de [C_dt], où l'on a défini, pour $\mathrm{A}\subset {ℝ}^d$, $\left[\mathrm{A}\right]:=\mathrm{A}\cap {\mathbb{Z}}^d$. En outre, pour d assez grand, l'ensemble C_d n'est pas une boule pour la norme euclidienne. Enfin, nous montrons que la densité empirique de particules à l'intérieur de S_d⁰(t) converge faiblement vers un produit de lois de Poisson de paramétre un.

We study a continuous time growth process on ${\mathbb{Z}}^d$ (d⩾1) associated to the following interacting particle system: initially there is only one simple symmetric continuous time random walk of total jump rate one located at the origin; then, whenever a random walk visits a site still unvisited by any other random walk, it creates a new independent random walk starting from that site. Let us call P_d the law of such a process and S⁰_d(t) the set of sites, visited by all walks by time t. We prove that there exists a bounded, non-empty, convex set $C_d\subset {ℝ}^d$, such that for every ε>0, P_d-a.s. eventually in t, the set S_d⁰(t) is within an ε neighborhood of the set [C_dt], where for $\mathrm{A}\subset {ℝ}^d$ we define $\left[\mathrm{A}\right]:=\mathrm{A}\cap {\mathbb{Z}}^d$. Moreover, for d large enough, the set C_d is not a ball under the Euclidean norm. We also show that the empirical density of particles within S_d⁰(t) converges weakly to a product Poisson measure of parameter one.

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