Injectivity of the spherical means operator

Ramm, Alexander G.

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 12, pp. 1033-1038.

Soit S une surface de ${ℝ}^n$ qui divise l'espace en deux composantes connectées D₁ and D₂. Soit $\mathrm{f}\in {\mathrm{C}}_0^{\infty }\left({ℝ}^n\right)$ une fonction à valeurs réeles, suppf⊂D₁. Considérons

$$Mf:=m(y,r):={\int }_{{ℝ}^n}f\left(z\right)\delta \left(\right|y-z|-r)\mathrm{d}z,$$

où δ est la delta-fonction, y∈S et r>0 sont quelconques. Une condition générale, locale à l'infini, est donnée sur S, sous laquelle M est injective, c.a.d., Mf=0⇒f=0. Le résultat d'injectivité est généralisé dans le cas où la transformée de Fourier de f est quasi-analytique, de façon à ne pas supposer que f est à support compact. Une condition suffisante sur S est donnée sous laquelle M⁻¹ peut être construit analytiquement. Deux exemples de formules d'inversion sont donnés : dans le cas où S est plan, et dans le cas où S est une sphère. Ces formules peuvent etre utilisés dans les applications.

Let S be a surface in ${ℝ}^n$ which divides the space into two connected components D₁ and D₂. Let $\mathrm{f}\in {\mathrm{C}}_0\left({ℝ}^n\right)$ be some real-valued compactly supported function with suppf⊂D₁. Consider

$$Mf:=m(y,r):={\int }_{{ℝ}^n}f\left(z\right)\delta \left(\right|y-z|-r)\mathrm{d}z,$$

where δ is the delta-function, y∈S and r>0 are arbitrary. A general, local at infinity, condition on S is given, under which M is injective, that is, Mf=0 implies f=0. The injectivity result is extended to the case when the Fourier transform of f is quasianalytic, so that compactness of support of f is not assumed. A sufficient condition on S is given, under which M⁻¹ can be analytically constructed. Two examples of inversion formulas are given: when S is a plane, and when S is a sphere. These formulas can be used in applications.

[1] Agranovsky, M.; Quinto, E. Injectivity of the spherical mean operator and related problems, Pitman Res. Notes Math. Ser., 347, Longman, Harlow, 1996, pp. 12-36

[2] Anderson, L. On the determination of the function from spherical averages, SIAM J. Math. Anal., Volume 19 (1988), pp. 214-232

[3] Courant, R.; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York, 1962

[4] Lavrent'ev, M.; Romanov, V.; Shishatskii, S. Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis, American Mathematical Society, Providence, RI, 1986

[5] Morse, P.; Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York, 1953

[6] Ramm, A.G. Scattering by Obstacles, Reidel, Dordrecht, 1986 (pp. 1–442)

[7] Ramm, A.G. Multidimensional Inverse Scattering Problems, Longman Scientific & Wiley, New York, 1992 (pp. 1–385; Expanded Russian edition: Mir, Moscow, 1994, pp. 1–496)

[8] Ramm, A.G. Spectral properties of the Schrödinger operator in some domains with infinite boundaries, Soviet Math. Dokl., Volume 152 (1963), pp. 282-285

[9] Ramm, A.G. Spectral properties of the Schrödinger operator in some infinite domains, Mat. Sb., Volume 66 (1965), pp. 321-343