Modèles de Markov Triplet et filtrage de Kalman

Desbouvries, François; Pieczynski, Wojciech

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 8, pp. 667-670.

Le filtrage de Kalman permet d'estimer un processus multivarié inobservable $\mathrm{x}={\left\{{\mathrm{x}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$ à partir d'un processus multivarié observé $\mathrm{y}={\left\{{\mathrm{y}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$. Cet outil admet de multiples applications, en particulier en traitement du signal. Dans sa formulation classique, il s'appuie sur un modèle stochastique dynamique dans lequel $\mathrm{x}$ vérifie une équation d'évolution linéaire et la loi de $\mathrm{y}$ conditionnelle à $\mathrm{x}$ est donnée par les lois $\mathrm{p}\left({\mathrm{y}}_n\right|{\mathrm{x}}_n)$. Nous proposons dans cette Note deux généralisations successives du modèle classique. La première, qui mène au modèle dit « Couple », consiste à supposer que l'équation d'évolution de $\mathrm{x}$ est en fait vérifiée par le couple $(\mathrm{x},\mathrm{y})$. Nous montrons que le nouveau modèle est strictement plus général que le modèle classique et qu'il peut, néanmoins, servir de support à la mise en place d'un filtrage de type Kalman. La deuxième, qui mène au modèle dit « Triplet », consiste à supposer que l'équation d'état est vérifiée par un triplet $(\mathrm{x},\mathrm{r},\mathrm{y})$, où $\mathrm{r}={\left\{{\mathrm{r}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$ est un processus auxiliaire, éventuellement sans existence physique. Nous montrons que le modèle Triplet est strictement plus général que le modèle Couple, et permet encore la mise en place du filtrage de Kalman.

Kalman filtering enables to estimate a multivariate unobservable process $\mathrm{x}={\left\{{\mathrm{x}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$ from an observed multivariate process $\mathrm{y}={\left\{{\mathrm{y}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$. It admits a lot of applications, in particular in signal processing. In its classical framework, it is based on a dynamic stochastic model in which $\mathrm{x}$ satisfies a linear evolution equation and the conditional law of $\mathrm{y}$ given $\mathrm{x}$ is given by the laws $\mathrm{p}\left({\mathrm{y}}_n\right|{\mathrm{x}}_n)$. In this Note, we propose two successive generalizations of the classical model. The first one, which leads to the “Pairwise” model, consists in assuming that the evolution equation of $\mathrm{x}$ is indeed satisfied by the pair $(\mathrm{x},\mathrm{y})$. We show that the new model is strictly more general than the classical one, and yet still enables Kalman-like filtering. The second one, which leads to the “Triplet” model, consists in assuming that the evolution equation of $\mathrm{x}$ is satisfied by a triplet $(\mathrm{x},\mathrm{r},\mathrm{y})$, in which $\mathrm{r}={\left\{{\mathrm{r}}_n\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{N}}$ is an (artificial) auxiliary process. We show that the Triplet model is strictly more general than the Pairwise one, and yet still enables Kalman filtering.

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