Arbres de Markov Triplet et fusion de Dempster–Shafer

Pieczynski, Wojciech

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 10, pp. 869-872.

Les chaı̂nes de Markov cachées (CMC) (X,Y) ont été récemment généralisées aux chaı̂nes de Markov Triplet (CMT), lesquelles gardent les mêmes pouvoirs de restauration du processus caché X à partir du processus observé Y. Par ailleurs, dans une CMC (X,Y) la loi a posteriori de X, qui est de Markov, peut être vue comme une fusion de Dempster–Shafer (fusion DS) de sa loi a priori avec une probabilité q définie à partir des observations Y=y. Lorsque l'on se place dans le contexte de la théorie de l'évidence en remplaçant la loi de X par une fonction de masse M admettant une écriture markovienne similaire (une modélisation plus générale redonnant le modèle classique pour une M particulière), sa fusion DS avec q généralise la probabilité a posteriori. Bien que le résultat de cette fusion ne soit, en général, pas une chaı̂ne de Markov, il a été établi qu'il est une CMT, ce qui autorise les divers traitements d'intérêt. L'objet de cette Note est de présenter diverses généralisations de ce dernier résultat : (i) extension aux CMC plus généraux ; (ii) q, qui peut éventuellement être une fonction de masse Q, est elle même résultat de fusion DS ; enfin, (iii) tous les résultats sont étendus aux arbres de Markov cachés (AMC), qui englobent les CMC.

The hidden Markov chains (HMC) (X,Y) have been recently generalized to triplet Markov chains (TMC), which enjoy the same capabilities of restoring a hidden process X from the observed process Y. The posterior distribution of X can be viewed, in an HMC, as a particular case of the so called “Dempster–Shafer fusion” (DS fusion) of the prior Markov with a probability q defined from the observation Y=y. As such, when we place ourselves in the Dempster–Shafer theory of evidence by replacing the probability distribution of X by a mass function M having an analogous Markov form (which gives again the classical Markov probability distribution in a particular case), the result of DS fusion of M with q generalizes the conventional posterior distribution of X. Although this result is not necessarily a Markov distribution, it has been recently shown that it is a TMC, which renders traditional restoration methods applicable. The aim of this Note is to present some generalizations of the latter result: (i) more general HMCs can be considered; (ii) q, which can possibly be a mass function Q, is itself a result of the DS fusion; and (iii) all these results are finally specified in the hidden Markov trees (HMT) context, which generalizes the HMC one.

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