Sur la topologie des fibres d'une fonction définissable dans une structure o-minimale

D'Acunto, Didier

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 5, pp. 327-330.

Soient $\mathrm{V}\subset {ℝ}^n$ une sous-variété fermée, non compacte de classe C² et $f:\mathrm{V}\to ℝ$ une fonction de classe C² définissable dans une structure o-minimale. On démontre que le flot du champ de gradient de f par rapport a la métrique riemannienne induite sur V plonge une hypersurface de niveau de f non singulière correspondant à une valeur critique à l'infini dans une hypersurface de niveau typique. On généralise ce résultat au cas d'un polynôme complexe.

Let $\mathrm{V}\subset {ℝ}^n$ be a closed, non compact C² manifold and $f:\mathrm{V}\to ℝ$ be a C² function definable in an o-minimal structure. We prove that the flow of the gradient field of f with respect to the induced riemannian metric on V embeds a non singular asymptotic critical level of f into a typical level of f. We apply this result to complex polynomials.

[1] Chazal, F. Sur les feuilletages algébriques de Rolle, Comment. Math. Helv., Volume 72 (1997) no. 3, pp. 411-425

[2] Chazal, F. Structure locale et globale des feuilletages de Rolle, un théorème de fibration, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 48 (1998), pp. 553-592

[3] D'Acunto, D. Valeurs critiques asymptotiques d'une fonction définissable dans une structure o-minimale, Ann. Polon. Math., Volume 35 (2000), pp. 35-45

[4] D. D'Acunto, V. Grandjean, On gradient at infinity of polynomial functions on the plane, Preprint

[5] L. van den Dries, Tame Topology and o-Minimal Structures, in: London Math. Soc. Lecture Notes Ser., Vol. 248, Cambridge University Press

[6] Kurdyka, K. On gradients of functions definable in o-minimal structures, Ann. Inst. Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 769-783

[7] Kurdyka, K.; Orro, P.; Simon, S. Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J. Differential Geom., Volume 56 (2000) no. 1, pp. 67-92

[8] Parusiński, A. On the bifurcation set of complex polynomial with isolated singularities, Compositio Math., Volume 97 (1995), pp. 369-384