This article studies the controllability property of a homogeneous linear string of length one, submitted to a time dependent obstacle (described by the function ) located below the extremity . The Dirichlet control acts on the other extremity . The string is modelled by the wave equation in , while the obstacle is represented by the Signorini's conditions , , in . The characteristic method and a fixed point argument allow to reduce the problem to the analysis of the solutions at . We prove that, for any and initial data with , the system is null controllable with controls in . Two distinct approaches are used. We first introduce a penalized system in , transforming the Signorini's condition into the simpler one , ϵ being a small positive parameter. We construct explicitly a family of controls of the penalized problem, uniformly bounded with respect to ϵ in . This enables us to pass to the limit and to obtain a control for the initial equation. A more direct approach, based on differential inequalities theory, leads to a similar positive conclusion. Numerical experiments complete the study.
Cet article étudie les propriétés de contrôlabilité d'une corde homogène de longeur un, soumise à un obstacle dépendant du temps (décrit par la fonction ) à l'extrémité . Le contrôle Dirichlet agit à l'extrémité . La corde est modélisée par l'équation des ondes dans , tandis que l'obstacle est représenté par les conditions de Signorini , , sur . La méthode des caractéristiques et un argument de point fixe permettent de réduire le problème à l'analyse des solutions en . Nous prouvons que, pour tout et donnée initiale avec , le système est contrôlable à zéro avec des contrôles dans . Deux approches sont utilisées. On introduit tout d'abord un système pénalisé en , transformant les conditions de Signorini en l'égalité , ϵ étant un paramètre positif. On construit explicitement une famille de contrôle du problème pénalisé uniformément bornée par rapport à ϵ dans . Cela nous permet de passer à la limite et d'obtenir un contrôle pour le système initial. Une approche plus directe, relevant de la théorie des inéquations différentielles, conduit à un résultat positif similaire. Quelques applications numériques complètent l'étude.
Keywords: Nonlinear boundary controllability, Unilateral constraint, Penalization, Fixed point method
@article{AIHPC_2010__27_4_1097_0, author = {Ammar-Khodja, Farid and Micu, Sorin and M\"unch, Arnaud}, title = {Controllability of a string submitted to unilateral constraint}, journal = {Annales de l'I.H.P. Analyse non lin\'eaire}, pages = {1097--1119}, publisher = {Elsevier}, volume = {27}, number = {4}, year = {2010}, doi = {10.1016/j.anihpc.2010.02.003}, mrnumber = {2659159}, zbl = {1194.35454}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.anihpc.2010.02.003/} }
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Ammar-Khodja, Farid; Micu, Sorin; Münch, Arnaud. Controllability of a string submitted to unilateral constraint. Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Volume 27 (2010) no. 4, pp. 1097-1119. doi : 10.1016/j.anihpc.2010.02.003. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.anihpc.2010.02.003/
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