Soit Ω un domaine ouvert de de frontière Γ. Le problème numéroté (1) dans le texte admet une solution unique dans , si , sur une portion de Γ d'aire S non nulle et . ɛ correspond à l'amortissement d'une structure élastique et ζ est l'impédance acoustique normalisée de la paroi interne de la cavité. ɛ et sont des petits paramètres. Par une décomposition modale adaptée et la réalisation d'une moyenne sur une bande étroite de nombre d'onde k, une relation intégrale entre la trace de u sur et g, est construite au premier ordre en et ɛ, par l'intermédiaire du théorème des résidus. Il ne s'agit pas d'une équation équivalente au problème, mais d'une étape vers sa résolution, qui fera l'objet de publications ultérieures.
Let Ω be an opened domain of with a boundary Γ. The problem numbered (1) in the text has a unique solution in , if , on a part of Γ the area S of which is different from zero and . ɛ is the damping of an elastic structure and ζ is the normalised acoustic impedance of the internal wall of the cavity. ɛ and are small parameters. Thanks to a proper modal expansion and a mean over a narrow band of wave number k, an integral relation between the trace of u on and g is built to the first order in and ɛ, using the residues theorem. It is not an equivalent equation to the problem, but just a step towards its resolution, which will be published in future papers.
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TY - JOUR AU - Brenot, Dominique TI - Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2005 SP - 779 EP - 784 VL - 340 IS - 10 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.024/ DO - 10.1016/j.crma.2004.12.024 LA - fr ID - CRMATH_2005__340_10_779_0 ER -
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Brenot, Dominique. Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 10, pp. 779-784. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.024. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.024/
[1] A. Bamberger, T. Ha Duong, Diffraction d'une onde acoustique par une paroi absorbante : nouvelles équations intégrales, Rapport interne no 121, Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, 1985
[2] Acoustic impedance measurement, Parts I & II, J. Sound Vib., Volume 243 (2001), pp. 427-460 | DOI
[3] J.L. Lions, Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, 1984
[4] Problèmes aux limites non homogènes et applications, I, Dunod, Paris, 1968
[5] Methods of Theoretical Physics, I, Interscience, New York, 1953
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