Étant donné un opérateur sous-elliptique défini sur un fibré vectoriel au dessus d'une variété riemannienne compacte, nous étudions l'existence de , où est le noyau de la chaleur du semi-groupe et où σ is a linear map on est une application linéaire sur . Notre résultat contient en particulier le théorème de l'indice local d'Atiyah–Singer pour les opérateurs de Dirac sur les fibrés de Clifford. Notre approche repose sur une extension aux fibrés vectoriels du lien mis en avant par Rotschild et Stein qui existe entre les groupes de Lie nilpotents et l'asymptotique sur la diagonale d'un noyau de la chaleur sous-elliptique.
Given a general second order subelliptic differential operator defined on a vector bundle over a compact manifold, we study the existence of , where is the heat kernel of and σ is a linear map on . Our result contains as a special case the local Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators on Clifford bundles. Our approach is based on an extension to fiber bundles of the link pointed out by Rotschild and Stein between Nilpotent Lie groups and subelliptic heat kernel asymptotics on the diagonal.
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Baudoin, Fabrice. A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 12, pp. 765-768. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.005. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/
[1] An Introduction to the Geometry of Stochastic Flows, Imperial College Press, 2004
[2] The Atiyah–Singer theorems: A probabilistic approach, Part I, J. Func. Anal., Volume 57 (1984) Part II: 57 (1984) 329–348
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