Soit . Une forme modulaire f mod 2 de niveau 1 est un polynôme en Δ. Si p est un nombre premier >2, lʼopérateur de Hecke transforme f en une forme modulaire qui est un polynôme en Δ de degré strictement plus petit que celui de f, de sorte que est nilpotent.
Lʼordre de nilpotence de f est défini comme le plus petit entier tel que, pour toute famille de g nombres premiers impairs , on ait . Nous montrons dans ce qui suit comment on peut calculer ; on a .
Let be the reduction mod 2 of the Δ series. A modular form f modulo 2 of level 1 is a polynomial in Δ. If p is an odd prime, then the Hecke operator transforms f in a modular form which is a polynomial in Δ whose degree is smaller than the degree of f, so that is nilpotent.
The order of nilpotence of f is defined as the smallest integer such that, for every family of g odd primes , the relation holds. We show how one can compute explicitly ; if f is a polynomial of degree d in Δ, one finds that .
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Nicolas, Jean-Louis; Serre, Jean-Pierre. Formes modulaires modulo 2 : Lʼordre de nilpotence des opérateurs de Hecke. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 7-8, pp. 343-348. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.013. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.03.013/
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