Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe . Notons la dimension de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et lʼentier ⩾1 tel que . Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de , qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane , est vide si , et est un espace projectif de dimension égale à si . Pour , ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre , et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour , et tout degré , la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert .
Par contraste, les courbes intersections complètes de hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si .
Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space . Denoting by the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let be the integer (⩾1) such that . The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of which have degree h and contain the hyperplane section , is empty if , and is a projective space of dimension if . Equivalently when , the associated web in of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number , and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For and any , the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme .
By contrast, the complete intersection of algebraic hypersurfaces is never ordinary if .
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TY - JOUR AU - Gruson, Laurent AU - Hantout, Youssef AU - Lehmann, Daniel TI - Courbes algébriques ordinaires et tissus associés JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2012 SP - 513 EP - 518 VL - 350 IS - 9-10 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.05.005/ DO - 10.1016/j.crma.2012.05.005 LA - fr ID - CRMATH_2012__350_9-10_513_0 ER -
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Gruson, Laurent; Hantout, Youssef; Lehmann, Daniel. Courbes algébriques ordinaires et tissus associés. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518. doi : 10.1016/j.crma.2012.05.005. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.05.005/
[1] Ordinary holomorphic webs of codimension one, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, cl. Sci. (5), Volume XI (2012), pp. 197-214 (preprint 13/10/2008) | arXiv
[2] Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008)
[3] Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, 1994
[4] Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans à cône de Cohen–Macaulay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., Volume 8 (1975) no. 4, pp. 423-431
[5] Genre des courbes de lʼespace projectif, Tromsø 1977 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 687, Springer Verlag (1978), pp. 31-59
[6] Curves in Projective Space, Les Presses de lʼUniversité de Montréal, 1982 Chapter III (with the collaboration of D. Eisenbud)
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