$ {L}^{p}$-Taylor approximations characterize the Sobolev space $ {W}^{1,p}$

Spector, Daniel

doi:10.1016/j.crma.2015.01.010

Partial differential equations/Functional analysis

L^{p}

-Taylor approximations characterize the Sobolev space

W^{1, p}

[Les développements de Taylor-

L^{p}

caractérisent l'espace de Sobolev

W^{1, p}

]

Présenté par : Haïm Brézis

Spector, Daniel ^1,²

¹ Technion – Israel Institute of Technology, Department of Mathematics, Haifa, Israel
² National Chiao Tung University, Department of Applied Mathematics, Hsinchu, Taiwan

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 4, pp. 327-332.

Résumé
Abstract

Dans cette note, nous introduisons une variante de la notion de Calderón et Zygmund de différentiabilité $L^{p}$ – un développement de Taylor- $L^{p}$ . Notre premier résultat est que les fonctions de l'espace de Sobolev $W^{1, p} (R^{N})$ possèdent un développement de Taylor- $L^{p}$ au premier ordre. C'est un analogue du résultat de Calderón et Zygmund concernant la différentiabilité $L^{p}$ des fonctions de Sobolev. En fait, le résultat principal que nous annonçons ici est que le développement de Taylor- $L^{p}$ au premier ordre caractérise l'espace de Sobolev $W^{1, p} (R^{N})$ , et donc implique la différentibilité $L^{p}$ . Notre approche établit des liens entre les caractérisations des espaces de Sobolev dues à Swanson, qui utilisent les classes de Calderón–Zygmund, celles dues à Bourgain, Brézis et Mironescu, qui utilisent des fonctionnelles non locales, et celles dues à l'auteur et à Mengesha, qui utilisent des gradients non locaux. Que les différentes caractérisations des espaces de Sobolev soient reliées n'est pas surprenant ; cependant, notre analyse donne une condition simple pour déterminer si une fonction à variation bornée est dans un espace de Sobolev.

In this note, we introduce a variant of Calderón and Zygmund's notion of $L^{p}$ -differentiability – an $L^{p}$ -Taylor approximation. Our first result is that functions in the Sobolev space $W^{1, p} (R^{N})$ possess a first-order $L^{p}$ -Taylor approximation. This is in analogy with Calderón and Zygmund's result concerning the $L^{p}$ -differentiability of Sobolev functions. In fact, the main result we announce here is that the first-order $L^{p}$ -Taylor approximation characterizes the Sobolev space $W^{1, p} (R^{N})$ , and therefore implies $L^{p}$ -differentiability. Our approach establishes connections between some characterizations of Sobolev spaces due to Swanson using Calderón–Zygmund classes with others due to Bourgain, Brézis, and Mironescu using nonlocal functionals with still others of the author and Mengesha using nonlocal gradients. That any two characterizations of Sobolev spaces are related is not surprising; however, one consequence of our analysis is a simple condition for determining whether a function of bounded variation is in a Sobolev space.

Reçu le : 2014-06-08
Accepté le : 2015-01-26
Publié le : 2015-02-13

DOI : 10.1016/j.crma.2015.01.010

Affiliations des auteurs :

Spector, Daniel ^{1, 2}

¹ Technion – Israel Institute of Technology, Department of Mathematics, Haifa, Israel
² National Chiao Tung University, Department of Applied Mathematics, Hsinchu, Taiwan

@article{CRMATH_2015__353_4_327_0,
     author = {Spector, Daniel},
     title = {$ {L}^{p}${-Taylor} approximations characterize the {Sobolev} space $ {W}^{1,p}$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {327--332},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {4},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.01.010},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.01.010/}
}

TY  - JOUR
AU  - Spector, Daniel
TI  - $ {L}^{p}$-Taylor approximations characterize the Sobolev space $ {W}^{1,p}$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 327
EP  - 332
VL  - 353
IS  - 4
PB  - Elsevier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.01.010/
DO  - 10.1016/j.crma.2015.01.010
LA  - en
ID  - CRMATH_2015__353_4_327_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Spector, Daniel
%T $ {L}^{p}$-Taylor approximations characterize the Sobolev space $ {W}^{1,p}$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 327-332
%V 353
%N 4
%I Elsevier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.01.010/
%R 10.1016/j.crma.2015.01.010
%G en
%F CRMATH_2015__353_4_327_0

Spector, Daniel. $ {L}^{p}$-Taylor approximations characterize the Sobolev space $ {W}^{1,p}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 4, pp. 327-332. doi : 10.1016/j.crma.2015.01.010. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.01.010/

Bibliographie
Cité par

[1] Bagby, T.; Ziemer, W.P. Pointwise differentiability and absolute continuity, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 191 (1974), pp. 129-148

[2] Bourgain, J.; Brézis, H.; Mironescu, P. Another look at Sobolev spaces (Menaldi, J.L. et al., eds.), Optimal Control and Partial Differential Equations, IOS Press, 2001, pp. 439-455 (A volume in honour of A. Benssoussan's 60th birthday)

[3] Calderón, A.-P.; Zygmund, A. A note on local properties of solutions of elliptic differential equations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 46 (1960), pp. 1385-1389

[4] Calderón, A.-P.; Zygmund, A. Local properties of solutions of elliptic partial differential equations, Stud. Math., Volume 20 (1961), pp. 171-225

[5] Evans, L.; Gariepy, R. Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton, FL, USA, 1992

[6] Leoni, G.; Spector, D. Characterization of Sobolev and BV spaces, J. Funct. Anal., Volume 261 (2011), pp. 2926-2958

[7] Mengesha, T.; Spector, D. Localization of nonlocal gradients in various topologies, Calc. Var. Partial Differ. Equ., Volume 52 (2015), pp. 253-279

[8] Swanson, D. A remark on Calderón–Zygmund classes and Sobolev spaces, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 130 (2002), pp. 1655-1659

[9] Swanson, D. A characterization of Sobolev spaces via local derivatives, Colloq. Math., Volume 119 (2010), pp. 157-167

[10] Ziemer, W.P. Weakly Differentiable Functions, Springer-Verlag, New York, 1989

Cité par Sources :