Courant-sharp eigenvalues of a two-dimensional torus

Léna, Corentin

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 6, pp. 535-539.

Cette note vise à déterminer quelles sont les valeurs propres du laplacien sur le tore plat (R/Z)2 qui ont une fonction propre réalisant le cas d'égalité dans le théorème de Courant (situation Courant-stricte). Nous suivons la stratégie de Å. Pleijel (1956) [18], qui associe une borne inférieure de type loi de Weyl pour la fonction de comptage et une inégalité de type Faber–Krahn. Comme dans les travaux de P. Bérard et D. Meyer, cette dernière est déduite d'une inégalité isopérimétrique, avec une condition de petitesse, ici explicitée, sur l'aire du domaine.

In this note, we determine, in the case of the Laplacian on the flat two-dimensional torus (R/Z)2, all the eigenvalues having an eigenfunction that satisfies Courant's theorem with equality (Courant-sharp situation). Following the strategy of Å. Pleijel (1956) [18], the proof is a combination of a lower bound (à la Weyl) of the counting function, with an explicit remainder term, and of a Faber–Krahn inequality for domains on the torus (deduced as in the work of P. Bérard and D. Meyer from an isoperimetric inequality), with an explicit upper bound on the area.

[1] Bérard, P. Inégalités isopérimétriques et applications, SEDP (1981)

[2] Bérard, P. Volume des ensembles nodaux des fonctions propres du Laplacien, SEDP, École polytechnique, Palaiseau, France, 1984

[3] Bérard, P.; Helffer, B. Dirichlet eigenfunctions of the square membrane: Courant's property, and A. Stern's and Å. Pleijel's analyses, March 2014 (Preprint) | arXiv

[4] Bérard, P.; Helffer, B. Courant-sharp eigenvalues for the equilateral torus, and for the equilateral triangle, February 2015 (Preprint) | arXiv

[5] Bérard, P.; Meyer, D. Inégalités isopérimétriques et applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 15 (1982), pp. 513-541

[6] Bourdin, B.; Bucur, D.; Oudet, É. Optimal partitions for eigenvalues, SIAM J. Sci. Comput., Volume 31 (2009–2010), pp. 4100-4114

[7] Chavel, I. Isoperimetric Inequalities: Differential Geometric and Analytic Perspectives, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001

[8] Courant, R. Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, Nachr. Ges. Göttingen (1923), pp. 81-84

[9] Helffer, B.; Hoffmann-Ostenhof, T. Minimal partitions for anisotropic tori, J. Spectr. Theory, Volume 4 (2014), pp. 221-233

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[11] Helffer, B.; Hoffmann-Ostenhof, T.; Terracini, S. On spectral minimal partitions: the case of the sphere, Around the research of Vladimir Maz'ya. III, Int. Math. Ser. (N. Y.), vol. 13, 2010, pp. 153-178

[12] Helffer, B.; Persson Sundqvist, M. Nodal domains in the square—the Neumann case, October 2014 (Preprint) | arXiv

[13] Howards, H.; Hutchings, M.; Morgan, F. The isoperimetric problem on surfaces, Amer. Math. Monthly, Volume 106 (1999), pp. 430-439

[14] Léna, C. Spectral minimal partitions for a family of tori, March 2015 (Preprint) | arXiv

[15] Léna, C. Courant-sharp eigenvalues of a two-dimensional torus, January 2015 (Preprint) | arXiv

[16] Leydold, J. Knotenlinien und Knotengebiete von Eigenfunktionen, Universität Wien, 1989 http://othes.univie.ac.at/34443/ (Diplom Arbeit Unpublished, available at:)

[17] Leydold, J. On the number of nodal domains of spherical harmonics, Topology, Volume 35 (1996), pp. 301-321

[18] Pleijel, Å. Remarks on Courant's nodal theorem, Comm. Pure. Appl. Math., Volume 9 (1956), pp. 543-550

[19] Polterovich, I. Pleijel's nodal theorem for free membranes, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 137 (2009), pp. 1021-1024

[20] Toth, J.; Zelditch, S. Counting nodal lines that touch the boundary of an analytic domain, J. Differential Geom., Volume 81 (2009), pp. 649-686