Soit N l'ensemble des entiers positifs ou nul. Pour et , notons le nombre de représentations de n sous la forme , avec pour tout . Récemment, utilisant une méthode probabiliste, Alon a répondu positivement à deux questions de Ljujić et Nathanson. Il a montré que, pour ou , il existe et un ensemble infini M d'entiers positifs tel que pour tout . Dans cette Note, par une construction explicite et comme corollaire de notre résultat principal, nous montrons que, pour ou , il existe un ensemble infini explicite M d'entiers positifs tel que pour tout . Plusieurs questions ouvertes sont proposées pour de futures recherches.
Let N be the set of all nonnegative integers. For and , let denote the number of representations of n in the form , where for all . Recently, by using the probabilistic method, Alon answered two questions of Ljujić and Nathanson affirmatively by proving that, for or for , there exists and an infinite set M of positive integers so that for all . In this note, by an explicit construction, as a corollary of our main result, it is proved that, for or for , there exists an explicit infinite set M of positive integers so that for all . Several open questions are posed for further research.
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@article{CRMATH_2016__354_3_235_0, author = {Dai, Li-Xia and Chen, Yong-Gao}, title = {On two problems of {Ljuji\'c} and {Nathanson}}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {235--238}, publisher = {Elsevier}, volume = {354}, number = {3}, year = {2016}, doi = {10.1016/j.crma.2016.01.007}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.007/} }
TY - JOUR AU - Dai, Li-Xia AU - Chen, Yong-Gao TI - On two problems of Ljujić and Nathanson JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2016 SP - 235 EP - 238 VL - 354 IS - 3 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.007/ DO - 10.1016/j.crma.2016.01.007 LA - en ID - CRMATH_2016__354_3_235_0 ER -
Dai, Li-Xia; Chen, Yong-Gao. On two problems of Ljujić and Nathanson. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.007. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.007/
[1] Restricted integer partition functions, Integers, Volume 13 (2013), p. A16
[2] On the growth of restricted integer partition functions, Dev. Math., Volume 23 (2012), pp. 39-46
[3] On a partition problem of Canfield and Wilf, Integers, Volume 12A (2012), p. A11
Cité par Sources :
☆ This work was supported by the National Natural Science Foundation of China, Grant Nos. 11371195, 11271185, 11571174 and PAPD.