Enrichissement des interpolations d'éléments finis en utilisant des méthodes sans maillage

Huerta, Antonio; Fernández-Méndez, Sonia; Díez, Pedro

ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique, Tome 36 (2002) no. 6, pp. 1027-1042.

Les méthodes sans maillage emploient une interpolation associée à un ensemble de particules : aucune information concernant la connectivité ne doit être fournie. Un des atouts de ces méthodes est que la discrétisation peut être enrichie d’une façon très simple, soit en augmentant le nombre de particules (analogue à la stratégie de raffinement $h$), soit en augmentant l’ordre de consistance (analogue à la stratégie de raffinement $p$). Néanmoins, le coût du calcul des fonctions d’interpolation est très élevé et ceci représente un inconvénient vis-à-vis des éléments finis. Cet article présente une interpolation mixte éléments finis-particules qui résulte de la généralisation de plusieurs travaux dans ce domaine. La formulation de cette interpolation mixte est valable pour n’importe quel ordre de consistance. Dans ce contexte, on énonce un estimateur d’erreur a priori dont la démonstration se base dans les propriétés de l’interpolation mixte. Ce résultat permet d’étudier la convergence de la méthode d’enrichissement et d’établir les stratégies de raffinement de l’interpolation qui permettent d’atteindre une solution avec une précision satisfaisante.

In the framework of meshless methods, the interpolation is based on a distribution of particles: it is not necessary to define connectivities. In these methods the interpolation can be easily enriched, increasing the number of particles (as in $h$-refinement of finite elements) or increasing the order of consistency (as in $p$-refinement of finite elements). However, comparing with finite elements, particle methods suffer from an increase in the computational cost, mainly due to the computation of the shape functions. In this paper, a mixed interpolation that combines finite elements and particles is presented. The objective is to take advantage of both methods. In order to define $h$-$p$ refinement strategies an a priori error estimate is needed, and thus, some convergence results are presented and proved for this mixed interpolation.

Classification : 65N15, 65N50, 65N30
Mots clés : adaptivité, raffinement $h$-$p$, éléments finis, méthodes sans maillage, méthodes particulaires, interpolation mixte, convergence

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