Nouvelles formulations intégrales pour les problèmes de diffraction d'ondes

Levadoux, David P.; Michielsen, Bastiaan L.

ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique, Tome 38 (2004) no. 1, pp. 157-175.

On présente un formalisme intégral destiné à la résolution de l'équation de Helmholtz en domaine non borné. Ce formalisme repose sur la factorisation de l'un des projecteurs de Calderón par un opérateur dont la vocation est d'approcher au mieux l'admittance externe de l'objet diffractant. On montre alors comment le calcul pseudo-différentiel permet d'envisager la construction d'approximations conduisant à des équations intégrales sans résonance, bien posées à toutes les fréquences. Une technique de mise en œuvre est ensuite exposée, où de nombreux arguments provenant du calcul pseudo-différentiel interviennent encore. Enfin, on présente quelques résultats numériques venant conforter la démarche. Principalement, on constate que les systèmes issus du nouveau formalisme sont très bien conditionnés comparés à ceux provenant d'équations plus classiques.

We present an integral equation method for solving boundary value problems of the Helmholtz equation in unbounded domains. The method relies on the factorisation of one of the Calderón projectors by an operator approximating the exterior admittance (Dirichlet to Neumann) operator of the scattering obstacle. We show how the pseudo-differential calculus allows us to construct such approximations and that this yields integral equations without internal resonances and being well-conditioned at all frequencies. An implementation technique is elaborated, where again reasonings from pseudo-differential calculus play an important rôle. Some numerical examples are presented which appear to confirm that the new integral equation leads to linear systems which are much better conditioned than the classical (“direct”) integral equations and hence have much better behaviour when solved with iterative techniques and matrix sparsification.

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