Comparaison entre modèles d'ondes de surface en dimension 2

Mammeri, Youcef

ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique, Tome 41 (2007) no. 3, pp. 513-542.

Partant du principe de conservation de la masse et du principe fondamental de la dynamique, on retrouve l'équation d'Euler nous permettant de décrire les modèles asymptotiques de propagation d'ondes dans des eaux peu profondes en dimension 1. Pour décrire la propagation des ondes en dimension 2, Kadomtsev et Petviashvili [Sov. Phys. Dokady 15 (1970) 539] utilisent une perturbation linéaire de l'équation de KdV. Mais cela ne précise pas si les équations ainsi obtenues dérivent de l'équation d'Euler, c'est ce que montrent Ablowitz et Segur dans l'article [J. Fluid Mech. 92 (1979) 691-715]. On insistera, de la même manière, sur le fait que les équations de KP-BBM peuvent être aussi obtenues à partir de l'équation d'Euler, et dans quelle mesure elles décrivent le modèle physique. Dans un second temps, on reprend la méthode introduite dans l'article de Bona et al. [Lect. Appl. Math. 20 (1983) 235-267] dans lequel ils comparent les solutions d'ondes longues en dimension 1, à savoir les solutions des équations KdV et BBM, pour montrer ici que les solutions des équations KP-II et KP-BBM-II sont proches sur un intervalle de temps inversement proportionnel à l'amplitude des ondes. Du point de vue de la modélisation, il sera clair, d'après la première partie, que seul le modèle décrit par KP-BBM-II est bien posé, et comme du point de vue physique, KP-II et KP-BBM-II décrivent les ondes longues de faible amplitude lorsque la tension de surface est négligeable, il est intéressant de les comparer. De plus, on verra que la méthode utilisée ici reste valable pour les problèmes périodiques.

On the basis of the principle of conservation of mass and fundamental principle of dynamics, we find the Euler equation enabling us to describe the asymptotic models of waves propagation in shallow water in dimension 1. To describe the waves propagation in dimension 2, a linear perturbation of the KdV equation is used by Kadomtsev and Petviashvili [Sov. Phys. Dokady 15 (1970) 539]. But that does not specify if the equations thus obtained derive from the Euler equation, that is shown by Ablowitz and Segur in [J. Fluid Mech. 92 (1979) 691-715]. We will insist, in same manner, on the fact that the equations of KP-BBM can be also obtained starting from the Euler equation, and up to what point they describe the physical model. In a second time, we take again the method introduced in the article of Bona et al. [Lect. Appl. Math. 20 (1983) 235-267] in which the solutions of long water waves in dimension 1, namely the solutions of KdV and BBM, are compared, to show here that the solutions of KP-II and KP-BBM-II are close for a time scale inversely proportional to the waves amplitude. From the point of view of modelling, it will be clear according to the first part, that only the model described by KP-BBM-II is well posed, and since from the physical point of view, KP-II and KP-BBM-II describe the small amplitude long waves when the surface tension is neglected, it is interesting to compare them. Moreover, we will see that the method used here remains valid for the periodic problems.

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