A probabilistic ergodic decomposition result
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 4, pp. 932-942.

Soit (X,𝔛,μ) un espace probabilisé standard. Nous disons qu'une sous-tribu 𝔅 de 𝔛 décompose ergodiquement μ si toute probabilité conditionnelle régulière 𝔅 P relativement à 𝔅 et μ, vérifie, pour μ-presque tout xX, B𝔅, 𝔅 P(x,B){0,1}. Dans ce cas l'égalité μ(·)= X 𝔅 P(x,·)μ(dx), nous donne une décomposition intégrale en composantes «𝔅-ergodiques.» Pour toute sous-tribu 𝔅 de 𝔛, nous notons 𝔅 ¯ la plus petite sous-tribu de 𝔛 contenant 𝔅 et tous les sous-ensembles mesurables de X de μ-mesure nulle. Nous disons que la tribu 𝔅 est μ-complète si 𝔅=𝔅 ¯. Soit {𝔅 i iI} une famille non vide de sous-tribus de 𝔛 décomposant ergodiquement μ. Supposons que, pour toute partie finie J de I, iJ 𝔅 i ¯= iJ 𝔅 i ¯; cette hypothèse est satisfaite si les tribus 𝔅 i , iI, sont μ-complètes. Alors la sous-tribu iI 𝔅 i décompose ergodiquement μ.

Let (X,𝔛,μ) be a standard probability space. We say that a sub-σ-algebra 𝔅 of 𝔛 decomposes μ in an ergodic way if any regular conditional probability 𝔅 P with respect to 𝔅 and μ satisfies, for μ-almost every xX, B𝔅, 𝔅 P(x,B){0,1}. In this case the equality μ(·)= X 𝔅 P(x,·)μ(dx), gives us an integral decomposition in “𝔅-ergodic” components. For any sub-σ-algebra 𝔅 of 𝔛, we denote by 𝔅 ¯ the smallest sub-σ-algebra of 𝔛 containing 𝔅 and the collection of all sets A in 𝔛 satisfying μ(A)=0. We say that 𝔅 is μ-complete if 𝔅=𝔅 ¯. Let {𝔅 i iI} be a non-empty family of sub-σ-algebras which decompose μ in an ergodic way. Suppose that, for any finite subset J of I, iJ 𝔅 i ¯= iJ 𝔅 i ¯; this assumption is satisfied in particular when the σ-algebras 𝔅 i , iI, are μ-complete. Then we prove that the sub-σ-algebra iI 𝔅 i decomposes μ in an ergodic way.

DOI : 10.1214/08-AIHP302
Classification : 28A50, 28D05, 60A10
Mots-clés : regular conditional probability, disintegration of probability, quasi-invariant measures, ergodic decomposition
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Raugi, Albert. A probabilistic ergodic decomposition result. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 4, pp. 932-942. doi : 10.1214/08-AIHP302. http://archive.numdam.org/articles/10.1214/08-AIHP302/

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