Almost-sure growth rate of generalized random Fibonacci sequences

Janvresse, Élise; Rittaud, Benoît; de la Rue, Thierry

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 46 (2010) no. 1, pp. 135-158.

On considère les suites de Fibonacci aléatoires généralisées, définies par leurs deux premiers termes (positifs ou nuls) et, pour n≥1, Fn+2=λFn+1±Fn (cas linéaire) et ̃Fn+2=|λ̃Fn+1±̃Fn| (cas non-linéaire). Chaque signe ± est choisi indépendemment, + avec probabilité p ou - avec probabilité 1-p (0<p≤1). Nous montrons que, lorsque λ est de la forme λk=2cos(π/k) pour un entier k≥3, la croissance exponentielle de Fn pour 0<p≤1, et celle de ̃Fn pour 1/k<p≤1, est presque sûrement strictement positive et est donnée par ∫0∞log x dνk, ρ(x), où ρ est une fonction explicite de p dépendant du cas considéré, à valeurs dans [0, 1], et νk, ρ est une mesure de probabilité explicite sur ℝ+ définie inductivement sur les intervalles de Stern-Brocot généralisés. Nous donnons aussi une formule intégrale pour 0<p≤1 dans le cas, plus facile, où λ≥2. Enfin, nous étudions les variations de l'exposant en fonction de p.

We study the generalized random Fibonacci sequences defined by their first non-negative terms and for n≥1, Fn+2=λFn+1±Fn (linear case) and ̃Fn+2=|λ̃Fn+1±̃Fn| (non-linear case), where each ± sign is independent and either + with probability p or - with probability 1-p (0<p≤1). Our main result is that, when λ is of the form λk=2cos(π/k) for some integer k≥3, the exponential growth of Fn for 0<p≤1, and of ̃Fn for 1/k<p≤1, is almost surely positive and given by ∫0∞log x dνk, ρ(x), where ρ is an explicit function of p depending on the case we consider, taking values in [0, 1], and νk, ρ is an explicit probability distribution on ℝ+ defined inductively on generalized Stern-Brocot intervals. We also provide an integral formula for 0<p≤1 in the easier case λ≥2. Finally, we study the variations of the exponent as a function of p.

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