Pruning Galton-Watson trees and tree-valued Markov processes
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 48 (2012) no. 3, pp. 688-705.

Nous présentons une nouvelle procédure d’élagage d’arbres discrets en ajoutant des marques sur les noeuds de l’arbre. Cette procédure nous permet de définir un processus de Markov {𝒢(u)} à valeurs arbres en élaguant un arbre de Galton-Watson. Nous définissons également de manière analogue un processus {𝒢 * (u)} en élaguant un arbre de Galton-Watson critique ou sous-critique conditionné à être infini. Sous de faibles hypothèses sur la loi de reproduction, nous montrons que le processus {𝒢(u)} arrêté en son temps d’ascension admet une représentation en terme du processus {𝒢 * (u)}. Un résultat similaire a été obtenu par Aldous et Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637-686) dans le cas particulier de lois de reproductions poissoniennes en considérant un élagage uniforme sur les branches de l'arbre.

We present a new pruning procedure on discrete trees by adding marks on the nodes of trees. This procedure allows us to construct and study a tree-valued Markov process {𝒢(u)} by pruning Galton-Watson trees and an analogous process {𝒢 * (u)} by pruning a critical or subcritical Galton-Watson tree conditioned to be infinite. Under a mild condition on offspring distributions, we show that the process {𝒢(u)} run until its ascension time has a representation in terms of {𝒢 * (u)}. A similar result was obtained by Aldous and Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637-686) in the special case of Poisson offspring distributions where they considered uniform pruning of Galton-Watson trees by adding marks on the edges of trees.

DOI : 10.1214/11-AIHP423
Classification : 05C05, 60J80, 60J27
Mots-clés : pruning, branching process, Galton-Watson process, random tree, ascension process 
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Cité par Sources :