The critical barrier for the survival of branching random walk with absorption

Jaffuel, Bruno

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 48 (2012) no. 4, pp. 989-1009.

Nous étudions une marche aléatoire branchante sur $ℝ$ avec une barrière absorbante. La position de la barrière dépend de la génération. À chaque génération, seuls les individus nés sous la barrière survivent et se reproduisent. Étant donnée une loi de reproduction, Biggins et al. [Ann. Appl. Probab. 1 (1991) 573-581] ont déterminé, pour une barrière linéaire, si le processus survit ou s’éteint. Dans cet article, nous affinons ce résultat : dans le cas frontière où la vitesse de la barrière correspond à la vitesse de la particule la plus à gauche d’une génération donnée, nous allons à l’ordre suivant en ajoutant un terme $a{n}^{1/3}$ à la position de la barrière pour la $n$ième génération et obtenons une valeur critique explicite $a_c$ telle que le processus s’éteint quand $a<a_c$ et survit quand $a>a_c$. Nous obtenons aussi le taux d’extinction lorsque $a<a_c$ et une borne inférieure sur la taille de la population lorsqu’il survit.

We study a branching random walk on $ℝ$ with an absorbing barrier. The position of the barrier depends on the generation. In each generation, only the individuals born below the barrier survive and reproduce. Given a reproduction law, Biggins et al. [Ann. Appl. Probab. 1 (1991) 573-581] determined whether a linear barrier allows the process to survive. In this paper, we refine their result: in the boundary case in which the speed of the barrier matches the speed of the minimal position of a particle in a given generation, we add a second order term $a{n}^{1/3}$ to the position of the barrier for the $n$th generation and find an explicit critical value $a_c$ such that the process dies when $a<a_c$ and survives when $a>a_c$. We also obtain the rate of extinction when $a<a_c$ and a lower bound for the population when it survives.

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