Size of the giant component in a random geometric graph

Ganesan, Ghurumuruhan

doi:10.1214/12-AIHP498

Ganesan, Ghurumuruhan

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 49 (2013) no. 4, pp. 1130-1140.

Résumé
Abstract

Dans cet article nous étudions la composante principale $C_{G}$ dans le graphe géométrique aléatoire $G = G (n, r_{n}, f)$ avec $n$ nœuds indépendants, chacun étant distribué selon une densité $f (\cdot)$ dans ${[0, 1]}^{2}$ telle que ${inf}_{x \in {[0, 1]}^{2}} f (x) >$ $0$ . Si $\frac{c_{1}}{n} \leq r_{n}^{2} \leq c_{2} \frac{log n}{n}$ pour des constantes positives $c_{1}$ , $c_{2}$ et $n r_{n}^{2} ⟶ \infty$ quand $n \to \infty$ , nous montrons que la composante principale de $G$ contient au moins $n - o (n)$ nœuds avec probabilité minorée par $1 - e^{- β n r_{n}^{2}}$ pour tout $n$ et pour une constante positive $β$ . Nous obtenons aussi des estimations sur les diamètres et sur le nombre des plus petites composantes de $G$ .

In this paper, we study the size of the giant component $C_{G}$ in the random geometric graph $G = G (n, r_{n}, f)$ of $n$ nodes independently distributed each according to a certain density $f (\cdot)$ in ${[0, 1]}^{2}$ satisfying ${inf}_{x \in {[0, 1]}^{2}} f (x) >$ $0$ . If $\frac{c_{1}}{n} \leq r_{n}^{2} \leq c_{2} \frac{log n}{n}$ for some positive constants $c_{1}$ , $c_{2}$ and $n r_{n}^{2} ⟶ \infty$ as $n \to \infty$ , we show that the giant component of $G$ contains at least $n - o (n)$ nodes with probability at least $1 - e^{- β n r_{n}^{2}}$ for all $n$ and for some positive constant $β$ . We also obtain estimates on the diameter and number of the non-giant components of $G$ .

MR Zbl

DOI : 10.1214/12-AIHP498

Classification : 60D05, 60C05
Mots-clés : random geometric graphs, Size of giant component, number of components

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TY  - JOUR
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Ganesan, Ghurumuruhan. Size of the giant component in a random geometric graph. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 49 (2013) no. 4, pp. 1130-1140. doi : 10.1214/12-AIHP498. http://archive.numdam.org/articles/10.1214/12-AIHP498/

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