Purity of level m stratifications
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 43 (2010) no. 6, pp. 925-955.

Let k be a field of characteristic p>0. Let D m be a BT m over k (i.e., an m-truncated Barsotti-Tate group over k). Let S be a k-scheme and let X be a BT m over S. Let S D m (X) be the subscheme of S which describes the locus where X is locally for the fppf topology isomorphic to D m . If p5, we show that S D m (X) is pure in S, i.e. the immersion S D m (X)S is affine. For p{2,3}, we prove purity if D m satisfies a certain technical property depending only on its p-torsion D m [p]. For p5, we apply the developed techniques to show that all level m stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.

Soit k un corps de caractéristique p>0. Soit D m un BT m sur k (i.e., un groupe de Barsotti-Tate tronqué en échelon m sur k). Soient S un k-schéma et X un BT m sur S. Soit S D m (X) le sous-schéma de S correspondant au lieu où X est isomorphe à D m localement pour la topologie fppf. Si p5, nous montrons que S D m (X) est pur dans S, i.e. l’immersion S D m (X)S est affine. Pour p{2,3}, nous prouvons la pureté pour D m satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la p-torsion D m [p]. Pour p5, nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l’échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.

DOI: 10.24033/asens.2136
Classification: 11E57, 11G10, 11G18, 11G25, 14F30, 14G35, 14L05, 14L15, 14L30, 14R20, 20G25
Keywords: truncated Barsotti-Tate groups, affine schemes, group actions, $F$-crystals, stratifications, purity, and Shimura varieties
Mot clés : groupes de Barsotti-Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe, $F$ cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura
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