The local lifting problem for actions of finite groups on curves

Chinburg, Ted; Guralnick, Robert; Harbater, David

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 4, pp. 537-605.

Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p>0$. Nous étudions les obstructions au relèvement en caractéristique 0 d’une action fidèle et continue $\phi$ d’un groupe fini $G$ sur $k\left[\right[t\left]\right]$. Le théorème de Katz-Gabber associe à $\phi$ une action du groupe $G$ sur une courbe projective $Y$ lisse sur $k$. La KGB-obstruction de $\phi$ est dite nulle si $G$ agit sur une courbe projective lisse $X$ de caractéristique 0 avec égalité des genres de $X/H$ et $Y/H$ pour tout sous-groupe $H\subset G$. Nous déterminons les groupes $G$ pour lesquels la KGB-obstruction s’annule pour toute action $\phi$. Nous considérons également des situations analogues pour lesquelles il suffit d’annuler l’obstruction de Bertin à relever une action $\phi$ ou toutes actions $\phi$ suffisamment ramifiées. Ces résultats renforcent les convictions en faveur de la conjecture de Oort généralisée aux relèvements d’une action fidèle sur une courbe projective lisse ([8, Conj. 1.2).

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p>0$. We study obstructions to lifting to characteristic $0$ the faithful continuous action $\phi$ of a finite group $G$ on $k\left[\right[t\left]\right]$. To each such $\phi$ a theorem of Katz and Gabber associates an action of $G$ on a smooth projective curve $Y$ over $k$. We say that the KGB obstruction of $\phi$ vanishes if $G$ acts on a smooth projective curve $X$ in characteristic $0$ in such a way that $X/H$ and $Y/H$ have the same genus for all subgroups $H\subset G$. We determine for which $G$ the KGB obstruction of every $\phi$ vanishes. We also consider analogous problems in which one requires only that an obstruction to lifting $\phi$ due to Bertin vanishes for some $\phi$, or for all sufficiently ramified $\phi$. These results provide evidence for the strengthening of Oort’s lifting conjecture which is discussed in [8, Conj. 1.2].

Classification : 12F10, 14H37, 20B25, 13B05, 11S15, 14H30
Keywords: Galois groups, curves, automorphisms, characteristic $p$, lifting, Oort conjecture
Mot clés : groupes de Galois, courbes, automorphismes, caractéristique $p$, relèvement, conjecture de Oort

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