The local Langlands correspondence  for $\mathrm {GL}_n$ in families

Emerton, Matthew; Helm, David

doi:10.24033/asens.2224

The local Langlands correspondence for

{GL}_{n}

in families
[La correspondance de Langlands local pour

{GL}_{n}

dans les familles]

Emerton, Matthew ; Helm, David

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 4, pp. 655-722.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$ et soit $E$ un corps $ℓ$ -adique où $ℓ \neq p$ . Étant donnée une représentation $ρ : G_{E} \to {GL}_{n} (A)$ , où $A$ est une $W (k)$ -algèbre locale, nous étudions le problème de la recherche de $A [{GL}_{n} (E)]$ -module admissible $π (ρ)$ qui « interpole la correspondance de Langlands locale » pour $ρ$ sur les points de $Spec A$ . Nous formulons une version précise de ce problème et montrons qu'il a au plus une solution, à isomorphisme près. Le premier auteur a montré [6] que lorsque $A$ est une algèbre de Hecke, et $ρ : G_{ℚ_{ℓ}} \to {GL}_{2} (A)$ est la représentation naturelle de $G_{ℚ_{ℓ}}$ sur $A$ , alors le $A [{GL}_{2} (E)]$ -module $π (ρ)$ existe et apparaît naturellement dans la cohomologie de la tour des courbes modulaires.

Let $k$ be a finite field of characteristic $p$ , and let $E$ be an $ℓ$ -adic field for $ℓ \neq p$ . Given a representation $ρ : G_{E} \to {GL}_{n} (A)$ where $A$ is a local $W (k)$ -algebra, we study the problem of finding an admissible $A [{GL}_{n} (E)]$ -module $π (ρ)$ that “interpolates the local Langlands correspondence” for $ρ$ over the points of $Spec A$ . We formulate a precise version of this problem and show that it has at most one solution, up to isomorphism. The first author has shown [6] that when $A$ is a Hecke algebra, and $ρ : G_{ℚ_{ℓ}} \to {GL}_{2} (A)$ is the natural representation of $G_{ℚ_{ℓ}}$ over $A$ , the corresponding $A [{GL}_{n} (E)]$ -module $π (ρ)$ exists and arises naturally in the completed cohomology of the tower of modular curves.

Publié le : 2014-09-24

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DOI : 10.24033/asens.2224

Classification : 11S37, 11F33, 11F70, 22E50
Keywords: Local Langlands correspondence, congruences.
Mot clés : Correspondance de Langlands locale, congruences.

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Emerton, Matthew; Helm, David. The local Langlands correspondence  for $\mathrm {GL}_n$ in families. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 4, pp. 655-722. doi : 10.24033/asens.2224. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2224/

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