Transforming metrics on a line bundle to the Okounkov body

Witt Nyström, David

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 6, pp. 1111-1161.

Soit L un fibré en droite holomorphe gros sur une variété complexe X, projective et lisse. Nous montrons comment associer une fonction convexe sur le corps d'Okounkov de L à chaque métrique continue ψ sur L. Nous l'appelons la transformée de Chebyshev de ψ, désignée par c[ψ]. Notre théorème principal affirme que la différence des volumes métriques de L par rapport à deux métriques, une notion introduite par Berman-Boucksom, s'écrit comme une intégrale de la différence des transformations de Chebyshev des métriques. Quand les métriques sont de courbure positive, le volume métrique coïncide avec l'énergie de Monge-Ampère, qui est une fonctionnelle bien connue dans la géométrie de Kähler-Einstein et la géométrie d'Arakelov. On démontre que ceci peut être considéré comme une généralisation des résultats classiques sur les constantes de Chebyshev et la transformation de Legendre des métriques invariantes sur des variétés toriques. En guise d'application, on démontre la différentiabilité du volume métrique dans le cône des gros ℝ-diviseurs métrisés. Ceci généralise le résultat de Boucksom-Favre-Jonsson sur la différentiabilité du volume ordinaire des ℝ-diviseurs gros et le résultat de Berman-Boucksom sur la différentiabilité du volume métrique quand le fibré L est fixe.

Let L be a big holomorphic line bundle on a complex projective manifold X. We show how to associate a convex function on the Okounkov body of L to any continuous metric ψ on L. We will call this the Chebyshev transform of ψ, denoted by c[ψ]. Our main theorem states that the difference of metric volume of L with respect to two metrics, a notion introduced by Berman-Boucksom, is equal to the integral over the Okounkov body of the difference of the Chebyshev transforms of themetrics. When the metrics have positive curvature the metric volume coincides with the Monge-Ampère energy, which is a well-known functional in Kähler-Einstein geometry and Arakelov geometry. We show that this can be seen as a generalization of classical results on Chebyshev constants and the Legendre transform of invariant metrics on toric manifolds. As an application we prove the differentiability of the metric volume in the cone of big metrized ℝ-divisors. This generalizes the result of Boucksom-Favre-Jonsson on the differentiability of the ordinary volume of big ℝ-divisors and the result of Berman-Boucksom on the differentiability of the metric volume when the underlying line bundle is fixed.

Classification : 32W20, 32Q15, 32U20.
Keywords: Projective manifolds, Okounkov bodies, transforms of metrics.
Mot clés : Variétés projectives, corps d'Okounkov, transformations des métriques.

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