Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume

Dal'Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea

doi:10.24033/asens.2413

Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume
[Géométrie asymptotique des variétés de volume fini à courbure négative]

Dal'Bo, Françoise ; Peigné, Marc ; Picaud, Jean-Claude ; Sambusetti, Andrea

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 6, pp. 1459-1485.

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Résumé
Abstract

Nous décrivons le comportement asymptotique de variétés Riemanniennes simplement connexes $X$ à courbure strictement négative, dont le groupe d'isométries contient des sous-groupes discrets $Γ$ de co-volume fini. Plus précisément, nous montrons que lorsque la courbure est asymptotiquement 1/4-pincée, le groupe $Γ$ est alors divergent et la mesure de Bowen-Margulis associée est finie; de plus, le volume des boules $B (x, R)$ de $X$ est asymptotiquement équivalent à la fonction $c (x) e^{δ R}$ , où $δ$ désigne l'exposant de Poincaré de $Γ$ . Ce résultat généralise le célèbre théorème de Margulis au cas des réseaux non-uniformes. Nous construisons aussi toute une série d'exemples de variétés $X$ à courbure strictement négative mais non asymptotiquement 1/4-pincée, pour lesquels le volume des boules $B (x, R)$ de $X$ ne croît pas toujours de façon purement exponentielle.

We study the asymptotic behavior of simply connected Riemannian manifolds $X$ of strictly negative curvature admitting a non-uniform lattice $Γ$ . If the quotient manifold $\bar{X} = Γ ∖ X$ is asymptotically $1 / 4$ -pinched, we prove that $Γ$ is divergent and $U \bar{X}$ has finite Bowen-Margulis measure (which is then ergodic and totally conservative with respect to the geodesic flow); moreover, we show that, in this case, the volume growth of balls $B (x, R)$ in $X$ is asymptotically equivalent to a purely exponential function $c (x) e^{δ R}$ , where $δ$ is the topological entropy of the geodesic flow of $\bar{X}$ . This generalizes Margulis' celebrated theorem to negatively curved spaces of finite volume. In contrast, we exhibit examples of lattices $Γ$ in negatively curved spaces $X$ (not asymptotically $1 / 4$ -pinched) where, depending on the critical exponent of the parabolic subgroups and on the finiteness of the Bowen-Margulis measure, the growth function is exponential, lower-exponential or even upper-exponential.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2413

Classification : 53C20, 37C35
Mots-clés : Cartan-Hadamard manifold, volume, entropy, Bowen-Margulis measure

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Dal'Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea. Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 6, pp. 1459-1485. doi : 10.24033/asens.2413. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2413/

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