Perturbation singulière en dimension trois : canards en un point pseudo-singulier nœud

Benoît, Éric

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 1, pp. 91-113.

On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type

$$\{\begin{array}{ccc}\dot{x}\hfill & =& f(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \dot{y}\hfill & =& g(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \epsilon \dot{z}\hfill & =& h(x,y,z,\epsilon ),\hfill \end{array}$$

où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées, analogues aux points tournants en dimension inférieure : les points pseudo-singuliers cols. Génériquement, les seules singularités génériques non encore étudiées dans la littérature sont les points pseudo-singuliers nœuds. Dans cet article, on étudie les points pseudo-singuliers nœuds où on montre l’existence d’une ou deux solutions surstables (c’est-à-dire assez régulières en $\epsilon$). Quand le rapport de deux valeurs propres est entier, un phénomène nouveau et intéressant apparaît  : la résonance. Techniquement, on se ramène d’abord à une forme plus canonique, puis on montre l’existence de solutions formelles, en utilisant le théorème des fonctions implicites sur un opérateur entre espaces de Banach de séries Gevrey. Les séries obtenues sont alors Gevrey, et les théories de sommation de ces séries donnent les solutions surstables recherchées.

We study singularly perturbed system of differential equations like

$$\{\begin{array}{ccc}\hfill \dot{x}& =& f(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \hfill \dot{y}& =& g(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \hfill \epsilon \dot{z}& =& h(x,y,z,\epsilon ),\hfill \end{array}$$

where $f$, $g$ and $h$ are analytic functions. In known papers, regular points of the slow surface $h=0$ are studied. At this point, the fast flow (vertical) is tranverse to the slow surface. The Tikhonov’s theorem can be applied here. In other papers, fold points and cusps of the slow surface were studied. The list of generic singularities contains also the pseudo-singular points which are connected to the turning points in lower dimension. They are (generically) saddle, focus or node. In the neighborhood of focus points, nothing happens, the saddle were studied in their papers, but the node points were never studied in the litterature. In this paper, whe prove that generally, there exist two overstable (i.e. regular with respect $\epsilon$) solutions. When the ratio between two eigenvalues is an integer, a resonance appears, and one of the two overstable solutions disappears. Technically, we transform first the system into a more canonical equation. After that, we prove the existence of formal solutions, and, using the implicit function theorme on Banach spaces of Gevrey series, we can prove that the formal solution is Gevrey. The theory of summation of Gevrey series gives the over-stable solutions.

Classification : 34E15, 34M30, 34M60, 34E05, 34C20
Mot clés : canard, équation différentielle ordinaire, perturbation singulière, point tournant, série Gevrey, solution surstable
Keywords: ordinay differential equation, singular perturbation, turning point, Gevrey series, overstable solution, canard

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