Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $({ℂ}^n,0)$

Belliart, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 259-284.

On montre que si $\Gamma$ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de ${ℂ}^n$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l’identité, alors : 1) L’action de $\Gamma$ sur le fibré des jets d’ordre infini sur un petit voisinage épointé $ℬ$ de $0$ est minimale (c’est-à-dire que si $z_0,z_1\in ℬ$ et si $\phi :z_0\to z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite ${\gamma }_n\in \Gamma$ qui converge vers $\phi$ uniformément au voisinage de $z_0$). 2) $\Gamma$ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c’est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma$ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L’ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma$, d’un faisceau ${𝔤}_{\Gamma }$ d’algèbres de Lie sur ${ℂ}^n$ dans lequel $\Gamma$ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma$ satisfait une hypothèse naturelle alors ${𝔤}_{\Gamma }\left(U\right)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$, pour tout $U$ ouvert dans $ℬ$ où $ℬ$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d’attraction.

Let $\Gamma$ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of ${ℂ}^n$ fixing zero. We study the dynamics of $\Gamma$. We show that if $\Gamma$ contains two elements whose 2-jets are in “general position” and sufficiently near the identity, then: 1) $\Gamma$ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood $ℬ$ of $0$ (that is to say: for any $z_0,z_1\in ℬ$ and any germ $\phi :z_0\to z_1$ of biholomorphism, there exists a sequence ${\gamma }_n\in \Gamma$ which converges to $\phi$ uniformly on some neighborhood of $z_0$). 2) $\Gamma$ preserves no geometric structure near $0$ (this is a trivial consequence of 1). 3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to $\Gamma$, the germ of conjugacy at $0$ is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup $\Gamma$ a sheaf ${𝔤}_{\Gamma }$ of Lie algebrae on ${ℂ}^n$ such that $\Gamma$ is “dense” in ${𝔤}_{\Gamma }$ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on $\Gamma$, ${𝔤}_{\Gamma }\left(U\right)$ must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any $U$ open in $ℬ$, where $ℬ$ is the (open) complementary of $0$ in its basin of attraction.

Classification : 58H05, 58H15
Mot clés : pseudogroupes conformes, structure géométrique invariante
Keywords: conformal pseudo-groups, invariant geometric structure

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