Properties of Wiener-Wintner dynamical systems

Dans cette note nous démontrons les résultats suivants. Tout d’abord nous montrons l’existence de systèmes dynamiques ergodiques du type Wiener Wintner ayant un spectre singulier continu dans l’orthogonal de leur facteurs de Kronecker.Ensuite nous montrons que si $f\in L^p$ est une fonction du type Wiener-Wintner alors, pour $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$ on peut trouver un ensemble $X_f$ de mesure pleine pour lequel la série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converge uniformément en $ϵ$.

In this paper we prove the following results. First, we show the existence of Wiener-Wintner dynamical system with continuous singular spectrum in the orthocomplement of their respective Kronecker factors. The second result states that if $f\in L^p$, $p$ large enough, is a Wiener-Wintner function then, for all $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$, there exists a set $X_f$ of full measure for which the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converges uniformly with respect to $ϵ$.

[1] I. Assani - « Wiener-wintner dynamical systems », Preprint, 1998. | MR 2032481 | Zbl 1128.37300

[2] -, « Spectral characterization of Wiener-Wintner dynamical systems », Prépublication IRMA Strasbourg, June 2000.

[3] J. Bourgain - « Double recurrence and almost sure convergence », 404 (1990), p. 140-161. | MR 1037434 | Zbl 0685.28008

[4] H. Furstenberg - Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1981. | MR 603625 | Zbl 0459.28023

[5] A. Iwanik, M. Lemanczyk & C. Mauduit - « Spectral properties of piecewise absolutely continuous cocycles over irrational rotations », 59 (1996), p. 171-187. | MR 1688497 | Zbl 0931.28015

[6] A. Khinchin - « Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen », 92 (1924), p. 115-125. | JFM 50.0125.01 | MR 1512207

[7] -, Continued fractions, The University of Chicago press, Chicago, Illinois, 1964. | MR 161833 | Zbl 0117.28601

[8] L. Kuipers & H. Niederreiter - Uniform distribution of sequences, John Wiley and Sons, 1974. | MR 419394 | Zbl 0281.10001

[9] H. Medina - « Spectral Types of Unitary Operators Arising from Irrational Rotations on the Circle Group », 41 (1994), p. 39-49. | MR 1260607 | Zbl 0999.47024

[10] M. Schwartz - « Polynomially moving ergodic averages », 103 (1988), no. 1, p. 252-254. | MR 938678 | Zbl 0642.28008