Properties of Wiener-Wintner dynamical systems

Dans cette note nous démontrons les résultats suivants. Tout d’abord nous montrons l’existence de systèmes dynamiques ergodiques du type Wiener Wintner ayant un spectre singulier continu dans l’orthogonal de leur facteurs de Kronecker.Ensuite nous montrons que si $f\in L^p$ est une fonction du type Wiener-Wintner alors, pour $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$ on peut trouver un ensemble $X_f$ de mesure pleine pour lequel la série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converge uniformément en $ϵ$.

In this paper we prove the following results. First, we show the existence of Wiener-Wintner dynamical system with continuous singular spectrum in the orthocomplement of their respective Kronecker factors. The second result states that if $f\in L^p$, $p$ large enough, is a Wiener-Wintner function then, for all $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$, there exists a set $X_f$ of full measure for which the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converges uniformly with respect to $ϵ$.