An approximation property of quadratic irrationals

Komatsu, Takao

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 35-48.

Soit $\alpha >1$ un irrationnel. Plusieurs auteurs ont étudié les nombres

$${\ell }^m\left(\alpha \right)=inf\left\{\right|y|:y\in {\Lambda }_m,y\ne 0\},$$

où $m$ est un entier positif et ${\Lambda }_m$ est l’ensemble de tous les réels de la forme $y={ϵ}_0{\alpha }^n+{ϵ}_1{\alpha }^{n-1}+\cdots +{ϵ}_{n-1}\alpha +{ϵ}_n$ avec des $|{ϵ}_i|\le m$ entiers. La valeur de ${\ell }^1\left(\alpha \right)$ a été précisée pour beaucoup de nombres de Pisot et ${\ell }^m\left(\alpha \right)$ pour le nombre d’or. Dans cet article, on détermine ${\ell }^m\left(\alpha \right)$ lorsque $\alpha$ est un irrationnel qui satisfait ${\alpha }^2=a\alpha \pm 1$ avec $a$ entier positif.

Let $\alpha >1$ be irrational. Several authors studied the numbers

$${\ell }^m\left(\alpha \right)=inf\left\{\right|y|:y\in {\Lambda }_m,y\ne 0\},$$

where $m$ is a positive integer and ${\Lambda }_m$ denotes the set of all real numbers of the form $y={ϵ}_0{\alpha }^n+{ϵ}_1{\alpha }^{n-1}+\cdots +{ϵ}_{n-1}\alpha +{ϵ}_n$ with restricted integer coefficients $|{ϵ}_i|\le m$. The value of ${\ell }^1\left(\alpha \right)$ was determined for many particular Pisot numbers and ${\ell }^m\left(\alpha \right)$ for the golden number. In this paper the value of ${\ell }^m\left(\alpha \right)$ is determined for irrational numbers $\alpha$, satisfying ${\alpha }^2=a\alpha \pm 1$ with a positive integer $a$.

Classification : 11A63, 11J04, 11J70
Keywords: approximation property, quadratic irrationals, continued fractions
Mot clés : propriété d'approximation, nombres quadratiques irrationnels, fractions continues

[1] Y. Bugeaud - « On a property of Pisot numbers and related questions », Acta Math. Hungar. 73 (1996), p. 33-39. | MR | Zbl

[2] M. Djawadi & G. Hofmeister - « Linear diophantine problems », Arch. Math. (Basel) 66 (1996), p. 19-29. | MR | Zbl

[3] P. Erdős, I. Joó & M. Joó - « On a problem of Tamás Varga », Bull. Soc. Math. France 120 (1992), p. 507-521. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] P. Erdős, I. Joó & V. Komornik - « Characterization of the unique expressions $1=\sum q^{-n_i}$ and related problems », Bull. Soc. Math. France 118 (1990), p. 377-390. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[5] -, « On the sequence of numbers of the form ${ϵ}_0+{ϵ}_{1}q+\cdots +{ϵ}_n{q}^n$, ${ϵ}_i\in \{0,1\}$ », Acta Arith. 83 (1998), p. 201-210. | EuDML | MR | Zbl

[6] P. Erdős & V. Komornik - « On developments in noninteger bases », Acta Math. Hungar. 79 (1998), p. 57-83. | MR | Zbl

[7] V. Komornik & P. Loreti - « Unique developments in non-integer bases », Amer. Math. Monthly 105 (1998), p. 636-639. | MR | Zbl

[8] V. Komornik, P. Loreti & M. Pedicini - « An approximation property of Pisot numbers », J. Number Theory 80 (2000), p. 218-237. | MR | Zbl

[9] T. Van Ravenstein - « The three gap theorem (Steinhaus conjecture) », J. Austral. Math. Soc. Ser. A 45 (1988), p. 360-370. | MR | Zbl

[10] W. Schmidt - Diophantine approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl