Hauteur des correspondances de Hecke

Autissier, Pascal

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 421-433.

L’objectif de cet article est de mesurer la complexité arithmétique de la courbe modulaire $X_0\left(N\right)$ en fonction du niveau $N$. Pour ce faire, on utilise un morphisme fini (de degré 1 sur son image) de $X_0\left(N\right)$ vers une variété fixe $X\left(1\right)\times X\left(1\right)$ et on calcule la hauteur au sens d’Arakelov de l’image $T_N$ de ce morphisme. La hauteur employée est directement reliée à la hauteur de Faltings des courbes elliptiques. On a besoin pour cela de considérer une théorie d’Arakelov pour les faisceaux inversibles hermitiens $L_1^2$-singuliers (au lieu de $C^{\infty }$ classiquement). On en déduit des résultats sur la hauteur (de Faltings) de courbes elliptiques isogènes, ainsi que sur des moyennes de hauteurs de courbes elliptiques à multiplication complexe (i.e. une formule de Kronecker arithmétique).

The goal of this paper is the measure of the arithmetic complexity of the modular curve $X_0\left(N\right)$, as a function of the level $N$. For this, we use a finite morphism (of degree 1 over its image) from $X_0\left(N\right)$ to a fixed variety $X\left(1\right)\times X\left(1\right)$, and we calculate the (Arakelov) height of the image $T_N$ of this morphism. This height is related to the Faltings height of elliptic curves. For this, we need to consider an Arakelov theory for $L_1^2$-singular hermitian line bundles (instead of $C^{\infty }$ ones classically). As an application, we find results on the (Faltings) height of isogenous elliptic curves, and on averages of heights of CM elliptic curves (i.e. an arithmetic Kronecker formula).

Classification : 11F32, 14G40, 11G50
Mot clés : hauteur, correspondance, théorie d'Arakelov, courbe modulaire, courbe elliptique
Keywords: height, correspondence, Arakelov theory, modular curve, elliptic curve

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