Complétude et flots nul-géodésibles en géométrie lorentzienne

Mounoud, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 3, pp. 463-475.

On étudie la complétude géodésique des flots nul-prégéodésiques sur les variétés lorentziennes compactes, ce qui donne une obstruction à être nul-géodésique. On montre que lorsque l’orthogonal du champ de vecteurs engendrant le flot considéré s’intègre en un feuilletage $ℱ$, la complétude du flot se lit sur l’holonomie de $ℱ$. On montre ainsi qu’il n’existe pas de flots nul-géodésiques lisses sur $S^3$. On montre aussi qu’un $2$-tore lorentzien est nul-complet si et seulement si ses feuilletages de type lumière sont ${𝒞}^0$ linéarisables.

We study geodesic completeness of null-pregeodesic flows on compact Lorentz manifold, obtaining an obstruction to be null-geodesic. We show that when the orthogonal distribution to the vectorfield generating the considered flow integrates into a foliation $ℱ$, the completeness of the flow can be read on the holonomie of $ℱ$. We obtain this way that there are no smooth null-geodesic flows on $S^3$. We also prove that a Lorentzian $2$-torus is null-complete if and only if its lightlike foliations are both ${𝒞}^0$ linearisable.

Classification : 53C50, 53C12, 53C22
Mot clés : flot nul-géodésible, complétude géodésique
Keywords: null-geodesic flow, geodesic completeness

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