Distribution des préimages et des points périodiques d'une correspondance polynomiale
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 363-394.

Nous construisons pour toute correspondance polynomiale F d’exposant de Lojasiewicz >1 une mesure d’équilibre μ. Nous montrons que μ est approximable par les préimages d’un point générique et que les points périodiques répulsifs sont équidistribués sur le support de μ. En utilisant ces résultats, nous donnons une caractérisation des ensembles d’unicité pour les polynômes.

We construct an equilibrium measure μ for a polynomial correspondence F of Lojasiewicz exponent >1. We then show that μ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the repelling periodic points are equidistributed on the support of μ. Using these results, we will give a characterization of infinite uniqueness sets for polynomials.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2491
Classification : 37F,  32H,  32H30,  32H50
Mots clés : correspondance, mesure d'équilibre, ensemble exceptionnel, point périodique, ensemble d'unicité
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Dinh, Tien-Cuong. Distribution des préimages et des points périodiques d'une correspondance polynomiale. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 363-394. doi : 10.24033/bsmf.2491. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2491/

[1] H. Alexander - « Projective capacity », Ann. Math. Studies, vol. 100, Princeton University Press, 1981, p. 3-27. | MR 627747 | Zbl 0494.32001

[2] E. Bedford & J. Smillie - « External rays in dynamics of polynomial automorphisms of 2 », vol. 222, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, p. 41-79. | MR 1653043 | Zbl 0922.58067

[3] J. Briend & J. Duval - « Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d’un endomorphisme de k », 182 (1999), p. 143-157. | MR 1710180 | Zbl 1144.37436

[4] -, « Deux caractérisations de la mesure d’équilibre d’un endomorphisme de k () », 93 (2001), p. 145-159. | Numdam | Zbl 1010.37004

[5] H. Brolin - « Invariant sets under iteration of rational functions », 6 (1965), p. 103-144. | MR 194595 | Zbl 0127.03401

[6] L. Clozel & E. Ullmo - « Correspondances modulaires et mesures invariantes », 558 (2003), p. 47-83. | MR 1979182 | Zbl 1042.11027

[7] -, « Équidistribution des points de Hecke », Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 2004, p. 193-254. | Zbl 1068.11042

[8] I. Cornfeld, S. Fomin & Y. Sinai - Ergodic theory, Grundlehren Math. Wiss., vol. 245, Springer Verlag, NewYork-Berlin, 1962. | MR 832433 | Zbl 0493.28007

[9] T.-C. Dinh - « Ensembles d'unicité pour les polynômes », Ergodic Theory Dynamical Systems 22 (2002), p. 171-186. | MR 1889569 | Zbl 1003.37032

[10] -, « Suites d'applications méromorphes multivaluées et courants laminaires », J. Geom. Anal. (à paraître). | Zbl 1085.37039

[11] T.-C. Dinh & N. Sibony - « Sur les endomorphismes holomorphes permutables de k », 324 (2002), p. 33-70. | MR 1931758 | Zbl 1090.32009

[12] -, « Distribution des valeurs de transformations méromorphes et applications », prépublication, arXiv : math.DS/0306095, 2003.

[13] -, « Dynamique des applications d'allure polynomiale », 82 (2003), p. 367-423. | MR 1992375 | Zbl 1033.37023

[14] -, « Dynamique des applications polynomiales semi-régulières », 42 (2004), p. 61-85. | MR 2056545 | Zbl 1059.37033

[15] -, « Green currents for holomorphic automorphisms on compact Kähler manifolds », 18 (2005), p. 291-312. | MR 2137979 | Zbl 1066.32024

[16] A. Eremenko - « On some functional equations connected with iteration of rational function », Leningrad Math. J. 1 (1990), p. 905-919. | MR 1027462 | Zbl 0724.39006

[17] P. Fatou - « Sur l'itération analytique et les substitutions permutables », J. Math. 2 (1923), p. 343. | EuDML 234057 | JFM 49.0712.03

[18] J. Fornæss - Dynamics in several complex variables, CBMS, vol. 81, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996. | MR 1363948 | Zbl 0840.58016

[19] J. Fornæss & N. Sibony - « Complex dynamics in higher dimension », Complex potential theory (Montréal, PQ, 1993), Nato ASI Series Math. and Phys. Sci., vol. C439, Kluwer, 1994, p. 131-186. | MR 1332961 | Zbl 0811.32019

[20] A. Freire, A. Lopes & R. Mañé - « An invariant measure for rational maps », Bol. Soc. Brasil. Mat. 14 (1983), p. 45-62. | MR 736568 | Zbl 0568.58027

[21] F. Gross & C. Yang - « On preimage and range sets of meromorphic functions », Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58 (1982), p. 17-20. | MR 649056 | Zbl 0501.30026

[22] V. Guedj - « Ergodic properties of rational mappings with large topological degree », prépublication, 2003. | Zbl 1088.37020

[23] L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operatorsI, Springer-Verlag, 1983. | Zbl 0521.35002

[24] G. Julia - « Mémoire sur la permutabilité des fractions rationnelles », Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (1922), p. 131-215. | EuDML 81407 | JFM 48.0364.02 | Numdam | MR 1509242

[25] M. Klimek - Pluripotential theory, Oxford Univ. Press, 1995. | MR 1150978 | Zbl 0742.31001

[26] M. Lyubich - « Entropy properties of rational endomorphisms of the Riemann sphere », Ergodic Theory Dynamical Systems 3 (1983), p. 351-385. | MR 741393 | Zbl 0537.58035

[27] M. Méo - « Image inverse d'un courant positif fermé par une application surjective », 322 (1996), p. 1141-1144. | MR 1396655 | Zbl 0858.32012

[28] R. Nevanlinna - « Einige Eideutigkeitss atze in der Theorie der meromorphen Funktionen », 48 (1926), p. 367-391. | JFM 52.0323.03 | MR 1555233

[29] I. Ostrovskii, F. Pakovitch & M. Zaidenberg - « A remark on complex polynomial of least deviation », 14 (1996), p. 699-703. | MR 1411590 | Zbl 0914.30003

[30] A. Ploski - « On the growth of proper polynomial mappings », XLV (1985), p. 297-309. | MR 817547 | Zbl 0584.32006

[31] J. Ritt - « Permutable rational functions », 25 (1923), p. 399-448. | JFM 49.0712.02 | MR 1501252

[32] A. Russakovskii & B. Shiffman - « Value distribution for sequences of rational mappings and complex dynamics », 46 (1997), p. 897-932. | MR 1488341 | Zbl 0901.58023

[33] B. Shiffman - « Uniqueness of entire and meromorphic functions sharing finite sets », 43 (2001), p. 433-449. | MR 1821663 | Zbl 1022.30034

[34] N. Sibony - « Dynamique des applications rationnelles de k », Dynamique et géométrie complexes, Panoramas & Synthèses, vol. 8, Société Mathématique de France, Paris, 1999, p. 97-185. | MR 1760844 | Zbl 1020.37026

[35] N. Sibony & P. Wong - « Some results on global analytic sets », Séminaire Lelong-Skoda, vol. 822, Springer, 1980, p. 221-237. | MR 599029 | Zbl 0444.32006

[36] C. Voisin - « Intrinsic pseudovolume forms and K-correspondences », The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, 2004, p. 761-792. | MR 2112602 | Zbl 1177.14040