Pseudo-spectrum for a class of semi-classical operators

Pravda-Starov, Karel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 3, pp. 329-372.

Nous étudions dans cet article une notion de pseudo-spectre semi-classique appelée pseudo-spectre d’injectivité. Le pseudo-spectre d’injectivité d’un opérateur désigne l’ensemble des points du plan complexe qui sont des « presque valeurs propres » dans l’asymptotique semi-classique, au sens où il existe en ces points des quasi-modes semi-classiques avec des taux précis de décroissance. Nous nous intéressons ici à l’étude de l’absence de pseudo-spectre d’injectivité, et nous démontrons une estimation sous-elliptique globale pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels dont les symboles ont une régularité limitée. Ce résultat généralise dans un cadre de régularité limitée l’estimation a priori démontrée par Dencker, Sjöstrand et Zworski pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels violant la condition $\left(P\right)$.

We study in this paper a notion of pseudo-spectrum in the semi-classical setting called injectivity pseudo-spectrum. The injectivity pseudo-spectrum is a subset of points in the complex plane where there exist some quasi-modes with a precise rate of decay. For that reason, these values can be considered as some ‘almost eigenvalues’ in the semi-classical limit. We are interested here in studying the absence of injectivity pseudo-spectrum, which is characterized by a global a priori estimate. We prove in this paper a sharp global subelliptic a priori estimate for a class of pseudo-differential operators with respect to the regularity of their symbols. Our main result extends the a priori estimate of Dencker, Sjöstrand and Zworski for a class of pseudo-differential operators with symbols of limited smoothness violating the condition $\left(P\right)$.

Classification : 35S05
Keywords: subelliptic estimate, symbols with limited smoothness, condition $(\overline{\Psi })$, Wick quantization
Mot clés : estimation sous-elliptique, symboles à régularité limitée, condition $(\overline{\Psi })$, quantification de Wick

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