Linearization of germs: regular dependence on the multiplier

Marmi, Stefano; Carminati, Carlo

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 4, pp. 533-564.

On montre que la linéarisation d’un germe d’application holomorphe du type $F_{\lambda }\left(z\right)=\lambda (z+O\left(z^2\right))$ a une dépendence ${𝒞}^1$-holomorphe du multiplicateur $\lambda$. Les fonctions ${𝒞}^1$-holomorphes sont ${𝒞}^1$ au sens de Whitney, elles sont définies sur des compacts et elles appartiennent au noyau de l’operateur $\overline{\partial }$. La linéarisation est analytique pour $\left|\lambda \right|\ne 1$ et le circle ${𝕊}^1$ est sa frontière naturelle (due aux résonances, c’est-à-dire les racines de l’unité). Neamoins la linéarisation est encore définie dans la plupart des points de ${𝕊}^1$, plus précisement aux points qui se trouvent « assez loin des résonances »’ et qui correspondent à des conditions arithmétiques adéquates imposées au multiplicateur. Nous construisons une suite croissante d’ensembles compacts qui évitent les résonances et nous démontrons que la linéarisation appartient aux espaces associés aux fonctions ${𝒞}^1$-holomorphes. C’est un cas particulier de la théorie des fonctions monogènes uniformes de Borel [2], et les espaces de fonctions correspondants sont quasi-analytiques par chemins [11]. Comme conséquence nous montrons que la linéarisation a un développement asymptotique en $(\lambda -{\lambda }_0)$ dans tous les points ${\lambda }_0\in {𝕊}^1$ qui verifient la condition de Brjuno. En effet le developpement est du type Gevrey aux points diophantiens.

We prove that the linearization of a germ of holomorphic map of the type $F_{\lambda }\left(z\right)=\lambda (z+O\left(z^2\right))$ has a ${𝒞}^1$-holomorphic dependence on the multiplier $\lambda$. ${𝒞}^1$-holomorphic functions are ${𝒞}^1$-Whitney smooth functions, defined on compact subsets and which belong to the kernel of the $\overline{\partial }$ operator. The linearization is analytic for $\left|\lambda \right|\ne 1$ and the unit circle ${𝕊}^1$ appears as a natural boundary (because of resonances, i.e. roots of unity). However the linearization is still defined at most points of ${𝕊}^1$, namely those points which lie “far enough from resonances”, i.e. when the multiplier satisfies a suitable arithmetical condition. We construct an increasing sequence of compacts which avoid resonances and prove that the linearization belongs to the associated spaces of ${𝒞}^1$-holomorphic functions. This is a special case of Borel’s theory of uniform monogenic functions [2], and the corresponding function space is arcwise-quasianalytic [11]. Among the consequences of these results, we can prove that the linearization admits an asymptotic expansion w.r.t. the multiplier at all points of the unit circle verifying the Brjuno condition: in fact the asymptotic expansion is of Gevrey type at diophantine points.

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