Submersions and effective descent of étale morphisms

Rydh, David

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 2, pp. 181-230.

On applique le théorème de « platification » de Raynaud et Gruson aux morphismes subtrusifs et obtient le théorème de structure suivant : Tout morphisme universellement subtrusif de présentation finie a un raffinement se factorisant en un recouvrement ouvert suivi d'un morphisme propre. La première application de ce théorème de structure est un théorème de descente effective. On montre que tout morphisme universellement subtrusif est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des morphismes étales. Ce résultat réduit l'écart entres schémas et espaces algébriques. Par exemple, on peut montrer que des quotients géométriques sont universels dans la catégorie des espaces algébriques. La deuxième application concerne les limites projectives de schémas. On démontre que tout morphisme universellement subtrusif de présentation finie est la limite de morphismes universellement submersifs entre schémas noethériens. Il en découle que la classe de morphismes subtrusifs, introduite par Picavet, est une extension naturelle de la classe de morphismes submersifs entre schémas noethériens. Avec des méthodes semblables on montre aussi un énoncé analogue pour les morphismes universellement ouverts. De plus, on généralise aux espaces algébriques les propriétés fondamentales des topologies $h$ et $qfh$ introduites par Voevodsky.

Using the flatification by blow-up result of Raynaud and Gruson, we obtain new results for submersive and subtrusive morphisms. We show that universally subtrusive morphisms, and in particular universally open morphisms, are morphisms of effective descent for the fibered category of étale morphisms. Our results extend and supplement previous treatments on submersive morphisms by Grothendieck, Picavet and Voevodsky. Applications include the universality of geometric quotients and the elimination of noetherian hypotheses in many instances.

Classification : 14A15, 13B22, 13B24, 13B40, 14F20, 14F43
Keywords: submersive, subtrusive, universally open, descent, étale, blow-up, h-topology, algebraic spaces
Mot clés : submersif, subtrisif, universalement ouvert, descente, étale, blow-up, h-topologie, espaces algébriques

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