Catégories dérivables

Cisinski, Denis-Charles

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 3, pp. 317-393.

Ces notes sont consacrées à la construction de dérivateurs à partir d'une nouvelle notion de catégorie de modèles assez générale pour recouvrir les théories de Quillen, Thomason et Brown. On développe en particulier la théorie des catégories exactes dérivables (par exemple les catégories de Frobenius et les catégories biWaldhausen compliciales vérifiant de bonnes propriétés de stabilité homotopique), lesquelles donnent lieu à des dérivateurs triangulés. On donne une caractérisation combinatoire simple pour qu'un foncteur dérivé induise une équivalence de catégories (ou de dérivateur). Dans un dernier temps, on démontre que la notion de catégorie de modèles introduite ici est stable par passage aux catégories de préfaisceaux sur une petite catégorie arbitraire, propriété qui fait défaut à la structure de Quillen.

These notes are devoted to the construction of derivators from a new notion of model category which is general enough to recover the theories of Quillen, Thomason, and Brown. We develop, in particular, the theory of derivable exact categories (for instance, Frobenius categories or complicial biWaldhausen categories with nice homotopy stability properties), which give rise to triangulated derivators. We give a simple combinatorial characterization for a derived functor to induce an equivalence of categories (or of derivators). At last, we prove that the notion of model category we introduce here is stable by taking presheaf categories over an arbitrary small category, while this property is known to fail for the Quillen structure.

Classification : 55U35, 55U40, 18G55, 18G10
Mot clés : catégories de modèles, limites homotopiques, dérivateurs, catégories stables, équivalences dérivées
Keywords: model categories, homotopy limits, derivators, stable categories, derived equivalences

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