Pull-back of currents by meromorphic maps

Trung Truong, Tuyen

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 4, pp. 517-555.

Soient $X$ et $Y$ des variétés kählériennes compactes, et $f:X\to Y$ une application méromorphe dominante. En nous basant sur un théorème de régularisation de Dinh et Sibony pour des courants DSH, nous définissons un opérateur pullback $f^{♯}$ pour les courants de bidegré $(p,p)$ d’ordre fini sur $Y$ (et donc pour tout courant, puisque $Y$ est compact. Cet opérateur a des bonnes propriétés, comme attendu. Notre définition et nos résultats sont compatibles avec ceux des travaux précédents de Meo, Russakovskii et Shiffman, Alessandrini et Bassanelli, Dinh et Sibony, et peut être facilement étendu au cas des correspondances méromorphes. Nous donnons un exemple d’application méromorphe $f$ et deux courants fermés positifs non-nuls $T_1,T_2$ pour lesquels $f^{♯}\left(T_1\right)=-T_2$. Nous utilisons la décomposition de Siu pour faciliter l’étude des courants fermés positifs pullback. Nous donnons une multitude d’applications autour de la recherche de courants invariants.

Let $X$ and $Y$ be compact Kähler manifolds, and let $f:X\to Y$ be a dominant meromorphic map. Based upon a regularization theorem of Dinh and Sibony for DSH currents, we define a pullback operator $f^{♯}$ for currents of bidegrees $(p,p)$ of finite order on $Y$ (and thus for any current, since $Y$ is compact). This operator has good properties as may be expected. Our definition and results are compatible to those of various previous works of Meo, Russakovskii and Shiffman, Alessandrini and Bassanelli, Dinh and Sibony, and can be readily extended to the case of meromorphic correspondences. We give an example of a meromorphic map $f$ and two nonzero positive closed currents $T_1,T_2$ for which $f^{♯}\left(T_1\right)=-T_2$. We use Siu’s decomposition to help further study on pulling back positive closed currents. Many applications on finding invariant currents are given.

Classification : 37F99, 32H50
Keywords: currents, dominant meromorphic maps, untersection of currents, pull-back of currents
Mot clés : courants, applications méromorphes dominantes, intersection de courants, pull-back de courants

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