Nous proposons une caractérisation géométrique des variétés de dimension ayant des groupes fondamentaux dont toutes les classes de conjugaison autres que sont infinies, c’est-à-dire dont les algèbres de von Neumann sont des facteurs de type : ce sont essentiellement les -variétés à groupes fondamentaux infinis qui n’admettent pas de fibration de Seifert. Autrement dit et plus précisément, soient une -variété connexe compacte et son groupe fondamental, qu’on suppose être infini et avec au moins une classe de conjugaison finie autre que . Si est orientable, alors est groupe fondamental d’une variété de Seifert ; si est non orientable, alors est groupe fondamental d’une variété de Seifert modulo au sens de Heil et Whitten [HeWh-94].
Nous faisons un usage intensif de résultats concernant les -variétés, autant classiques (comme on les trouve dans les livres de Hempel, Jaco et Shalen) que plus récents (solution de la conjecture des fibrés de Seifert).
We provide a geometric characterization of manifolds of dimension with fundamental groups of which all conjugacy classes except are infinite, namely of which the von Neumann algebras are factors of type : they are essentially the -manifolds with infinite fundamental groups on which there does not exist any Seifert fibration.
Otherwise said and more precisely, let be a compact connected -manifold and let be its fundamental group, supposed to be infinite and with at least one finite conjugacy class besides . If is orientable, then is the fundamental group of a Seifert manifold; if is not orientable, then is the fundamental group of a Seifert manifold modulo in the sense of Heil and Whitten [HeWh-94].
We make heavy use of results on -manifolds, as well classical results (as can be found in the books of Hempel, Jaco, and Shalen), as more recent ones (solution of the Seifert fibred space conjecture)
@article{AFST_2007_6_16_3_561_0, author = {de la Harpe, Pierre and Pr\'eaux, Jean-Philippe}, title = {Groupes fondamentaux des vari\'et\'es de dimension $3$ et alg\`ebres d{\textquoteright}op\'erateurs}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {561--589}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques}, address = {Toulouse}, volume = {6e s{\'e}rie, 16}, number = {3}, year = {2007}, doi = {10.5802/afst.1159}, mrnumber = {2379052}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1159/} }
TY - JOUR AU - de la Harpe, Pierre AU - Préaux, Jean-Philippe TI - Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2007 DA - 2007/// SP - 561 EP - 589 VL - 6e s{\'e}rie, 16 IS - 3 PB - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques PP - Toulouse UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1159/ UR - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2379052 UR - https://doi.org/10.5802/afst.1159 DO - 10.5802/afst.1159 LA - fr ID - AFST_2007_6_16_3_561_0 ER -
de la Harpe, Pierre; Préaux, Jean-Philippe. Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 561-589. doi : 10.5802/afst.1159. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1159/
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