A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\mathbf{R}}^2$

Arroyo, Aubin; Guillot, Adolfo

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 539-565.

On étudie les germes d’algèbres de Lie de champs de vecteurs engendrées par deux champs de vecteurs commutants sur une variété qui sont maximales au sens de Palais (qui ne présentent aucune obstruction évidente pour être le modèle local d’une action de ${\mathbf{R}}^2$). On étudie trois couples particuliers de champs de vecteurs commutants quadratiques et homogènes (sur ${\mathbf{R}}^2$, ${\mathbf{R}}^3$ et ${\mathbf{R}}^4$) et on étudie les algèbres de Lie maximales qui sont engendrées par des champs commutants dont le deuxième jet à l’origine est donné par les champs homogènes. Dans le premier cas on prouve que l’algèbre quadratique est une forme normale lisse pour l’algèbre. Dans les deux derniers, on prouve que la structure des orbites est, du point de vue topologique, celle de la partie quadratique.

We study germs of Lie algebras generated by two commuting vector fields in manifolds that are maximal in the sense of Palais (those which do not present any evident obstruction to be the local model of an action of ${\mathbf{R}}^2$). We study three particular pairs of homogeneous quadratic commuting vector fields (in ${\mathbf{R}}^2$, ${\mathbf{R}}^3$ and ${\mathbf{R}}^4$) and study the maximal Lie algebras generated by commuting vector fields whose 2-jets at the origin are the given homogeneous ones. In the first case we prove that the quadratic algebra is a smooth normal form. In the second and third ones, we prove that the orbit structure is, from a topological viewpoint, the one of the quadratic part.

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